数学理卷·2018届江西省等三省十校高三下学期联考（2018 10页

江西省等三省十校2018届高三下学期联考 数学（理科）试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1. 已知集合，，则等于 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设复数满足，则 = ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ‎ A． B． C. D． ‎ ‎4.执行如右图所示的程序框图，则输出的s的值是 A．7 B．‎6 C．5 D．3‎ ‎5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知，点为斜边的中点， , , ,则等于 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 已知，则 展开式中的系数为 ‎ ‎ A.24 B‎.32 C.44 D.56‎ ‎8.函数的图象大致是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．已知函数，若，则的最小值是 ‎ A． 3 B． ‎2 C. D 1‎ ‎11. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数的定义域为，，其导函数，当时，，且则不等式的解集为 ‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 若实数满足条件，则的最大值为 ‎ ‎14. . ‎ ‎15. 已知是以为焦点的抛物线上两点，且满足，则弦中点到准线距离为 . ‎ ‎16. . ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）‎ ‎17. （12分）‎ 已知等比数列的公比，，且成等差数列.‎ 求数列的通项公式 记，求数列的前项和 ‎18. （12分）‎ 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成，其中，,．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若四棱锥的高2，求二面角的余弦值．‎ ‎19. （12分）‎ ‎“中国人均读书4.3本（包括络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： ， ， ， ， ， 后得到如图所示的频率分布直方图.问：‎ ‎（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；‎ ‎（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.‎ ‎20. （12分）‎ 已知椭圆，动圆：（圆心为椭圆 上异于左右顶点的任意一点），过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于，两点，且切线长最小值时,.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）判断的面积是否为定值，若是，则求出该值；不是，请说明理由。‎ ‎21.（12分)‎ 设函数,（其中）‎ ‎.‎ ‎.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框内涂黑.‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点， 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系 求圆的普通方程 直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长 ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数的最大值为 求实数的值 若求的最小值 高三数学（理科）答案 一、1. B2．D3．C 4. B 5. D6.C7. B8. A 9．A10．A 11. C12.D ‎13. 1 14. 15. 16.‎ ‎17.解：，，‎ 又成等差数列，，‎ ‎，，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②：‎ ‎18.（Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，……………… 2分 所以，又，，……………… 3分 所以平面．　……………… 4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系（如图所示），，则，，，，，，．……………… 6分 设平面的一个法向量，‎ 则取，则，‎ 所以．……………… 8分 设平面的一个法向量，则 取，则，，所以．……………… 10分 所以……………… 11分 因为二面角的平面角是锐角，‎ 所以所求二面角的余弦值为．……………… 12分 ‎19.解：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为 所以40名读书者中年龄分布在的人数为.------2分 ‎（2）40名读书者年龄的平均数为 ‎（3）年龄在的读书者有人，‎ 年龄在的读书者有，------7分 所以的所有可能取值是0,1,2，‎ ‎，，，‎ 的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎[‎ ‎---------- 11分 数学期望.--------------12分 ‎[来源]‎ P O M N y x 图 ‎ ,又 在椭圆上， 得 椭圆C的方程为：‎ ‎（Ⅱ）解：1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得，代入椭圆方程得：，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则的面积为 ---------------5分 ‎2°当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：‎ 由得：‎ 整理得：（），------------------------6分 由韦达定理得： 7分 设，由于点P不与点A、B重合时，直线的斜率存在，‎ 不妨设直线的方程为：‎ 将与椭圆方程联立可得：‎ ‎ ----------------------------8分 代入有：整理得： ----------9分 又 而原点O到直线的距离为 ----------11分 所以的面积为定值. ----------------------12分 ‎21.解：（1）定义域为：‎ ‎.‎ 当时，令得得 在上单调递减，在上单调递增 -------2分 ‎②当时，得和 ⅰ）当时此时在上单调递增 --- ----3分 ⅱ）当时，‎ 当和时，‎ 当时，‎ 此时，在和上单调递增 在上单调递减； ------------4分 ⅲ）当时，当和时，，‎ 当时，‎ 此时，在和上单调递增，在上单调递减-----------5分 ‎（2）=‎ 当时，，所以在上无零点 故只需讨论函数在上的零点个数--------6分 若，则当时，，在上单调递增 在上有且只有一个零点-------7分 ‎②若，则在上单调递减，在上单调递增----------8分 令，则，--------9分 在上单调递增 在上单调递增-------------10分 ‎，‎ 在上有且只有一个零点---------------------------11分 解:圆的参数方程为 圆的普通方程为 化圆的普通方程为极坐标方程得 设,则由解得，‎ 设,则由解得，‎ ‎.解：由 当且仅当且当时取等号，此时取最大值，即 则