【数学】2019届文科一轮复习人教A版选修4-4坐标系教案 8页

选修4－4　坐标系与参数方程 第一节　坐标系 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．‎ ‎(对应学生用书第157页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ‎ 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与点的极坐标 ‎ (1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引 ‎ 一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 图1‎ ‎ (2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ρ2＝x2＋y2‎ tan θ＝(x≠0)‎ ‎4. 常用简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r ‎(0≤θ≤2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，‎ 半径为r的圆 ρ＝2rsin θ ‎(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a ‎(0＜θ＜π)‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)‎ ‎ (2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)‎ ‎ (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)‎ ‎ (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ ‎ A．ρ＝，0≤θ≤ ‎ B．ρ＝，0≤θ≤ ‎ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ ‎ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ ‎ A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎ ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，‎ ‎ ∴ρ＝.]‎ ‎3．(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．‎ ‎ x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.‎ ‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.]‎ ‎4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．‎ ‎ 　[由2ρsin＝，得 ‎ 2ρ＝，‎ ‎ ∴y－x＝1.‎ ‎ 由A，得点A的直角坐标为(2，－2)．‎ ‎ ∴点A到直线l的距离d＝＝.]‎ ‎5．(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径． 【导学号：79170368】‎ ‎ [解]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ ‎ 圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，‎ ‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ ‎ 则圆C的直角坐标方程为 ‎ x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ ‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ ‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎(对应学生用书第158页)‎ 平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．‎ ‎ (1)求曲线C的方程；‎ ‎ (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎ [解]　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 2分 ‎ 由x＋y＝1得x2＋2＝1，‎ ‎ 故曲线C的方程为x2＋＝1. 5分 ‎ (2)由 ‎ 解得或 6分 ‎ 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝， 8分 ‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ ‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ ‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝. 10分 ‎ [规律方法]　　1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．‎ ‎ 2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化．‎ ‎[变式训练1]　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：‎ ‎ ‎ (1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；‎ ‎ (2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．‎ ‎ [解]　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换 ‎ φ：得 ‎ ∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.‎ ‎ ∴点A′的坐标为(1，－1)．‎ ‎ (2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．‎ ‎ 由伸缩变换φ： ‎ 得 ‎ 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，‎ ‎ ∴y′＝x′为所求直线l′的方程．‎ 极坐标与直角坐标的互化 ‎　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎ (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎ (2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎ [解]　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ ‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ ‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 2分 ‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0). 4分 ‎ (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ ‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 ‎ S＝|OA|·ρB·sin∠AOB 6分 ‎ ＝4cos α· ‎ ＝2≤2＋. 8分 ‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ ‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋. 10分 ‎ [规律方法]　　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎ 2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．‎ ‎[变式训练2]　(2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎ (1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎ (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．‎ ‎ 【导学号：79170369】‎ ‎ [解]　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎ ∴x－y－1＝0，表示一条直线．‎ ‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ ‎ ∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎ ∴C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆．‎ ‎ (2)由(1)知点(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ ‎ 因此直线C1过圆C2的圆心．‎ ‎ ∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．‎ ‎ 因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.‎ 直线与圆的极坐标方程的应用 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎ (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎ (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求A．‎ ‎ [解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆. 2分 ‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. 4分 ‎ (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 ‎ ‎ 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ ‎ 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 8分 ‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ ‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ ‎ 所以a＝1. 10分 ‎ [规律方法]　　1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．‎ ‎ 2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．‎ ‎[变式训练3]　(2018·石家庄模拟)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎ (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎ (2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ ‎ [解]　(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.‎ ‎ ∴ρsin＝. 2分 ‎ 曲线C2化为＋＝1.(*)‎ ‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 ‎ 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.‎ ‎ ∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝. 4分 ‎ (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P，‎ ‎ ∴OP的极坐标方程为θ＝， 6分 ‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ ‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. 8分 ‎ ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1. 10分