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- 2021-06-21 发布
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山东省实验中学2015级第一次模拟考试
数学试题(理科)
2018.04
说明:本试卷满分150分,分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷为第l页至第3页,第Ⅱ卷为第4页至第6页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
第I卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题.每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合
A. B. C. D.
2.在复平面内,复数对应的点的坐标为,则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设
A. B. C. D.10
4.已知双曲线与抛物线有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为
A. B.
C. D.
5.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题: 松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=
A.2 B.3
C.4 D.5
6.已知,则
A. B. C. D.
7.某几何体的三视图如图所示,则它的最长棱长是
A.2 B.
C. D.3
8.将函数的图象上各点的横坐标伸长原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象,设,则的图象大致为
9.如果的展开式中各项系数的和为16,则展开式中项的系数为
A. B. C. D.
10.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上,且平面ABC,若该棱锥的体积为,则此球的表面积等于
A. B. C. D.
11.已知A,B是过抛物线焦点F的直线与抛物线的交点,O是坐标原点,且满足的值为
A. B. C.4 D.2
12.已知偶函数满足时,,关于的不等式上有且只有200个整数解,则实数a的取值范围
A. B. C. D.
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知实数满足约束条件则的最小值为__________.
14.在平面区域内投入一点P,则点P的坐标满足的概率为____________.
15.在,过B点作AB交AC于点D,如果,则AD=____________.
16.已知函数,直线的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2,4,现有如下命题:
①该函数在上的值域是
②在上,函数在处取得最大值
③该函数的最小正周期可以是
④函数的图象可能过原点
以上正确的命题的序号是____________.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必考题:60分.
17.(本小题满分12分)已知数列满足:.
(I)令,求证:数列为等比数列并求数列的通项公式;
(II)令为数列的前n项和,求证:.
18. (本小题满分12分)
在刚刚过去的济南市第一次模拟考试中,某班同学表现优异,成绩突出,现将全班50名同学的成绩按班内名次统计成如下的2×2列联表:
(I)完成列联表,若定义前20名的学生为优等生,能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为该班“成绩是否优等与性别有关”?请说明理由.
附:.
(II)优等生中的男生成绩在学校前100名的只有2人,现从这8人中抽取3人,记其中成绩在学校前100名的人数为,求的分布列及数学期望。
19. (本小题满分12分)已知四棱锥面ABCD且PD=2,是边长为的正三角形,,M为PC上的点,且.
(I)求证:PA//面MBD;
(II)求二面角的余弦值.
20. (本小题满分12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,过焦点且垂直于长轴的弦长为1.过左焦点的直线l与椭圆交于A,B两点,M是AB的中点.
(I)求椭圆的标准方程;若直线l不平行于坐标轴,证明:直线OM(O是坐标原点)与直线l的斜率之积为定值;
(II)D是椭圆上一点(A,D在x轴的同侧),且满足,求四边形面积的最大值.
21. (本小题满分12分)已知函数.
(I)函数不存在零点,求实数a的范围;
(II)若为函数的导函数,对任意与的大小关系,并给出证明.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4,坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中直线l的倾斜角,且经过点,以坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为,直线l与曲线E相交于A,B两点.
(I)求直线l的一般方程和曲线E的标准方程;
(II)求的值.
23. [选修4-5,不等式选讲](10分)
已知定义在R上的函数恒成立.
(I)解关于的不等式;
(II)若.
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山东省实验中学2015级第一次模拟考试
数学答案(理科) 2018.04
一. 选择题
BDBCC ADADB AC
二.填空题
13. 14. 15. 16.①②
三解答题
17. 证明:⑴因为,
所以,
即,…………………………………………………………………………………2分
又………………………………………………………………………………3分
所以数列为首项是,公比是的等比数列……………………………………………4分
所以,即
所以………………………………………………………………………………6分
⑵由⑴可知
所以……………………………………………………………………………………8
分
故
令,则
,……………………………………………………………9分
两式相减得:
…………………………………………11分
所以……………………………………………………………………………………12分
18.解:⑴
前20名
后30名
合计
男生
8
20
28
女生
12
10
22
合计
20
30
50
……………………………………………………………………………………………………………2分
由列联表得,…………………………………………………4分
因为,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为该班“成绩是否优等与性别有关”。………………………………………………………………5分
⑵的可能取值为………………………………………………………………………6分
,
………………………………………………………………………9分
所以的分布列为
0
1
2
………………………………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………12分
19.⑴证明:取中点,则,进而共线,……………………1分
由已知得,,所以
又
所以……………………………………………………………………………………3分
又面,面
所以面。……………………………………………………………………5分
⑵
过作的平行线,因为面,所以面
所以,
分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示空间直角坐标系。…………………………………………………………6分
因为
所以
因为,所以
设是平面的一个法向量,则
不妨令,则,即………………………………………………9分
显然是面的一个法向量,……………………………………………………10分
设二面角的大小为,
所以
即二面角的余弦值为……………………………………………………12分
20.解:(1) ,得 ,
所求椭圆的标准方程是 .-----------------------------------1分
设,则...(1),...(2)
(1)-(2)得----------------3分
,即,即 ------5分
(2)设直线 ,设
消去x得 ,
, ---------7分
延长 交椭圆与点E,连接BE,根据对称性,---8分
= ----------10分
令 , ,
所以当 ,的最大值为3.----------------------------------12分
另解:
----------------------8分
点 到直线的距离
根据对称性,= =----------10分
令 , ,
所以当 ,的最大值为3.----------------------------------12分
21.解:解:(1)函数的定义域为R,,…………………1分
当时,是增函数,
且当时,.
当时,,,取,
则,所以函数存在零点. ------------3分
注:用极限方法说明函数存在零点也是可行的,可参考得分.
②当时,.
在上单调递减,在上单调递增,所以时取最小值.………………5分
函数不存在零点,等价于,
解得.
综上所述:所求的实数的取值范围是.………………6分
(2)
=
-------------------------------------------7分
-=
==
=----------------------------8分
令 ,
令 , ------------------------10分
在区间上为减函数,所以,所以
在区间上为减函数,所以,
由此得<.------------------------------------------12分
22.解(1)由题意可知直线为,即
曲线:,所以,即,所以标准方程为 -------------------------------5分
(2)根据题意直线的参数方程是,将其代入曲线E方程,可得
,所以,
所以 -------------------------------10分
23.解:因为,所以,,又因为
所以 --------------------------2分
(1)
所以当
当
当
综上可得不等式的解集为 --------------------------5分
(2)因为,所以
所以,所以
当且仅当时等号成立
所以 -------------------------10分