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- 2021-06-21 发布
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3.4
生活中的优化问题举例
新课引入
:
导数在实际生活中有着广泛的应用
,
利用导数求最值的方法
,
可以求出实际生活中的某些最值问题
.
1.
几何方面的应用
2.
物理方面的应用
.
3.
经济学方面的应用
(
面积和体积等的最值
)
(
利润方面最值
)
(
功和功率等最值
)
例
1
.海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图
1.4-1
所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为
128dm2,
上、下两边各空
2dm,
左、右两边各空
1dm
。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
解:设版心的高为
xdm
,则版心的宽为
dm,
此时四周空白面积为 。
求导数,得
令
解得
舍去)
。
于是宽为
<0
;当
当
时,
时,
>0.
因此,
x=16
是函数
S(x)
的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为
16dm
,宽为
8dm
时,能使四周空白面积最小。
答:当版心高为
16dm
,宽为
8dm
时,海报四周空白面积最小。
解法二
:
由解法
(
一
)
得
问题
2:
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗
?
你是否注意过
,
市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些
?
你想从数学上知道它的道理吗
?
是不是饮料瓶越大
,
饮料公司的利润越大
?
例
2:
某制造商制造并出售球形瓶装饮料
.
瓶子制造成本是
0.8πr
2
分
.
已知每出售
1ml
的饮料
,
可获利
0.2
分
,
且瓶子的最大半径为
6cm.
1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大?
2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
解:由于瓶子的半径为R,所以每瓶饮料的利润是
令
当
当半径
r
>2
时,
f ’(r)>0
它表示
f(r)
单调递增,
即半径越大,利润越高;
当半径
r
<2
时,
f ’(r)<0
它表示
f(r)
单调递减
,
即半径越大,利润越低
.
1.
半径为2
cm
时,利润最小,这时
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,
此时利润是负值
2.半径为6
cm
时,利润最大
未命名
.gsp
2
3
1
、当半径为
2
cm
时
,
利润最小
,
这时
f
(2)<0,
2
、当半径为
6
cm
时,利润最大。
从图中可以看出
:
从图中,你还能看出什么吗?
问题
3
、磁盘的最大存储量问题
(1)
你知道计算机是如何存储、检索信息的吗?
(2)
你知道磁盘的结构吗?
(3)
如何使一个圆环状的磁
盘存储尽可能多的信息?
R
r
例
3
:现有一张半径为
R
的磁盘,它的存储区是半径介于
r
与
R
的环行区域。
是不是
r
越小,磁盘的存
储量越大?
(2)
r
为多少时,磁盘具有最大存储量
(最外面的磁道不存储任何信息)?
解:存储量
=
磁道数
×
每磁道的比特数
(1)
它是一个关于
r
的二次函数,从函数的解析式可以判断,不是
r
越小,磁盘的存储量越大。
(2)
为求
f
(
r
)
的最大值,先计算
解得
例
4:
某种圆柱形的饮料罐的容积一定时
,
如何确定它的高与底半径
,
使得所用材料最省
?
R
h
解
设圆柱的高为
h,
底面半径为
R.
则表面积为
S(R)=2πRh+2πR
2
.
又
V=πR
2
h(
定值
),
即
h=2R.
可以判断
S(R)
只有一个极值点
,
且是最小值点
.
答 罐高与底的直径相等时
,
所用材料最省
.
变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S
时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?
课堂练习
1
.用总长为
14.8m
的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长
0.5m,
那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
2.
课本
P
104
利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
回顾总结
解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具。