四川省成都外国语学校2019届高三开学考试数学（文）试卷 9页

成都外国语学校2018-2019学年度上学期开学考试 数学试题（文史类）‎ 满分：150分，时间：120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 设函数，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知直线的倾斜角为，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 如图，E、F分别是三棱锥的棱AP、BC的中点，，，‎ ‎，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）‎ A．30° B．120° C．60° D．45°‎ ‎8．设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（ ）‎ A. 2018 B. 2020 C. 4034 D. 2‎ ‎10.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.计算___________.‎ ‎14. 已知满足，则的最大值为__________．‎ ‎15. 函数的最小值是________.‎ ‎16. 已知平面向量满足，且与的夹角为150°，则的取值范围是_________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ （一） 必考题：共60分。 ‎ ‎17. （本小题满分10分）记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前项和．‎ ‎18.（本小题满分12分）如图1，在△中，,分别为，的中点，为的中点， ，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求到平面的距离．‎ 图1 图2 ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎19.（本小题满分12分）某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如下图所示（（吨）为该商品进货量， （天）为销售天数）：‎ ‎（Ⅰ）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）在该商品进货量（吨）不超过6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量（吨）恰有一个值不超过3（吨）的概率.‎ 参考公式和数据： ,.‎ ‎20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）设函数 ‎（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围。 ‎ （一） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 ‎ ‎22.（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；‎ ‎（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围． ‎ ‎23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围。‎ 数学试题（文史类）‎ 参考答案 一、 选择题：‎ ‎1～5，DBCDC 6～10, ACCAD 11～12, BD 二、 填空题：13, 1 14, 4 15, 16, ‎ 三、 解答题：‎ ‎17、解析：（1）；（2）错位相减法，‎ ‎18.解：（Ⅰ）取线段的中点，连接， ．‎ 因为在△中， ， 分别为， 的中点，所以 ， ．‎ 因为 ， 分别为， 的中点，所以 ， ， ‎ 所以 ， ，所以 四边形为平行四边形，所以 ．‎ 因为 平面， 平面，所以 平面．……… 6分 ‎（Ⅱ）为的中点，‎ 又平面平面，‎ ‎.由图有，，则 ‎ …………… 12分 ‎19.解析：（Ⅰ）依题意， ‎ 回归直线方程为 ………… 6分 ‎（Ⅱ）由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）(2,5)共6种，‎ 故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为 ………… 12分 ‎20.解：（1）由题意知，由抛物线的定义知：，‎ 解得，所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）知，设，，因为，则，由得，故，‎ 故直线的斜率为，因为直线和直线平行，‎ 故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，‎ 由题意知，得.‎ 设，则，，‎ 当时，，‎ 可得直线的方程为，‎ 由，整理可得，‎ 所以直线恒过点，‎ 当时，直线的方程为，过点，‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎21.解：（1）因为，所以 又因为，所以，即……5分 ‎（2）因为，所以，令，‎ 则，‎ 令，解得，令，解得，‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，‎ 又当时，，当时，，‎ 画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.……12分 ‎22.解：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：， 将曲线的方程化成极坐标方程得：， ∴曲线是以为圆心为半径的圆． ……………… 5分 （Ⅱ）设，由与圆M联立方程可得 ‎，‎ ‎∵O，A，C三点共线，则 ①，‎ ‎∴用代替可得,‎ ‎． ……………… 10分 ‎23．（1）等价于或或，‎ 解得或。‎ 故不等式的解集为。‎ ‎（2）因为：，‎ 所以：。‎ 由题意得：，‎ 解得或。 ‎