考点04 函数的概念（定义域、值域、解析式、分段函数）-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训 17页

‎2018届全品教学网高三数学30个黄金考点精析精训 考点4 函数的概念（定义域和值域、解析式和分段函数）‎ ‎【考点剖析】‎ 1. 最新考试说明： ‎ ‎(1)了解函数、映射的概念；‎ ‎(2)理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法；‎ ‎(3)会求一些简单函数的定义域;‎ ‎(4)分段函数及其应用：了解简单的分段函数，并能简单应用.‎ ‎2.命题方向预测：‎ 预计2017年高考对函数及其表示的考查仍以函数的表示法、分段函数、函数的定义域等基本知识点为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值为4分或5分.全品教学网 ‎3.课本结论总结：‎ 中学数学的很多领域都涉及定义域，忽视定义域将对后续的复习带来困难，由函数的解析式求函数的定义域的解题过程可总结为：考察整合化简结论，即先对解析式中的各部位进行必要的考察，得到自变量应满足的条件，再把上述条件整合成自变量应满足的不等式（组），解这个不等式（组）得到的解集即为函数的定义域.‎ ‎4.名师二级结论：‎ 形如的函数的值域的求法：可令或，利用三角换元求解，如果是更复杂的式子，如：，可令，，可令利用三角公式或其他方法解决.‎ ‎5.课本经典习题：‎ ‎(1)新课标A版第17页，例1 已知函数，‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求，的值；‎ ‎（3）当时，求，的值 ‎【经典理由】对于函数定义域的求解给出了总结，也从抽象-具体的给出函数值的概念及其当自变量取定义域内某一值时，函数值的求法.‎ (2) 新课标A版第18页，例2 下列函数中哪个与函数相等？‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）.‎ ‎【经典理由】给出了函数相等的定义，并对如何判断两个函数相等作出了总结.‎ ‎6.考点交汇展示：‎ ‎(1)函数与方程相结合 例1【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}‎ ‎【答案】C ‎(2)函数与不等式相结合 例2【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.‎ ‎【答案】【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 写成分段函数的形式：，‎ 函数 在区间 三段区间内均单调递增，‎ 且： ，‎ 据此x的取值范围是： .‎ ‎ (3)函数与集合相结合 例3【2018届河北省大名县第一中学高三上学期第二次月考】设函数 的定义域是R时，a的取值范围为集合M；它的值域是R时，a的取值范围为集合N，则下列的表达式中正确的是（　　）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A. M⊇N B. M∪N=R C. M∩N=∅ D. M=N ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 ,由函数 的定义域是R得恒成立,即 ‎ 由函数 的值域是R得取遍上每个值,所以,因此M∩N=∅,选C.‎ ‎【考点分类】‎ 热点1 函数的定义域和值域 ‎1.【2017山东，理1】设函数的定义域，函数的定义域为,则 ‎（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，由得，故，选D.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）全品教学网 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得即或，解得或，故选.‎ ‎3.【2018届河北省大名县第一中学高三上学期第一次月考】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的定义域为，则函数中.‎ 解得.‎ 故函数的定义域为 故选B.‎ ‎4.若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【方法规律】与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；‎ 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；‎ 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．全品教学网 第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．‎ ‎【解题技巧】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有：(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法 ‎【易错点睛】求复合函数，的定义域的方法：‎ ‎①若的定义域为，则解不等式得即可求出的定义域；②若的定义域为，则求出的值域即为的定义域，如第4题，首先根据条件的定义域为，可令，解得，即的定义域为.‎ 热点2 函数的解析式 ‎1.【2018届山东省滕州市第三中学高三】一次函数g（x）满足g[g（x）]=9x+8，则g（x）是（　　）‎ A. g（x）=9x+8 B. g（x）=3x+8‎ C. g（x）=﹣3x﹣4 D. g（x）=3x+2或g（x）=﹣3x﹣4‎ ‎【答案】D ‎【解析】设=9x+8，所以解得或，所以g（x）=3x+2或g（x）=﹣3x﹣4，选D.‎ ‎2.【2018届河北省大名县第一中学高三上学期第一次月考】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ (x∈R)与 (x⩾0)两个函数的定义域不一致，‎ ‎∴A中两个函数不表示同一函数；‎ ‎∵两个函数的对应法则不一致，‎ ‎∴B中两个函数不表示同一函数；‎ ‎∵，且两个函数的定义域均为R ‎∴C中两个函数表示同一函数；‎ f(x)=0， (x=1)两个函数的定义域不一致，‎ ‎∴D中两个函数不表示同一函数；‎ 故选C.‎ ‎3.【2017浙江温州模拟】数列是递增数列，且满足，，则不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎4.已知函数（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，，解得，所以，由，得，即，故选C.‎ ‎【解题技巧】(1)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式；‎ ‎(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；‎ ‎(3)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(4)方程思想：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出.‎ ‎【易错点睛】解决函数解析式问题，必须优先考虑函数的定义域，用换元法解题时，应注意换元前后的等价性.‎ 热点3 分段函数 ‎1.设函数,( )‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．‎ ‎2.【2018届内蒙古阿拉善左旗高级中学高三第一次月考】若已知函数f(x)＝ , 则的值是(　 　)‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数f(x)＝，‎ 可知， =.故选：D .‎ ‎3.设若，则的取值范围为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，，满足.‎ ‎4.【2016年高考北京理数】设函数.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ①若，则的最大值为______________；【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，‎ ‎①当时，，因此的最大值是；‎ ‎②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，．‎ ‎4‎ ‎【方法规律】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.‎ ‎【解题技巧】求分段函数的值域，关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决。求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等.画分段函数的图象要特别注意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性.分段函数的性质主要包括奇偶性、单调性、对称性等，它们的判断方法有定义法、图象法等.总而言之，“分段函数分段解决”，其核心思想是分类讨论，如第14题，即通过或分类讨论，从而求解.‎ ‎【热点预测】‎ ‎1.已知函数，那么的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2.【2018届湖北省襄阳四中高三8月月考】若函数的定义域为，则函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数y=f(2x−1)的定义域为[1,2],即1⩽2x−1⩽3，‎ 所以函数f(x)的定义域为[1,3].‎ 所以1⩽2x+1⩽3，解得0⩽x⩽1.‎ 所以函数f(2x+1)定义域为[0,1].‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三第二次月考】设函数，则不等式的解集是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，对于任意，恒成立，则，解得，故选D.‎ ‎5.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】函数，若，则的值是（ ）‎ A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2‎ ‎【答案】A ‎【解析】若，则由得，，∴．此时不成立．‎ 若，则由得，，∴，故选A．‎ ‎6.【2018届甘肃省武威市第六中学高三第一次】已知，求=_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，故答案为.‎ ‎7.函数（，且）的定义域为，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可得，即，则，知，则，则，解 得.‎ ‎8.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：.‎ ‎9.【2018届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知f(x)＝则f{f[f(π)]}的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，填.‎ ‎10.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月】设函数，则________；若，则实数的值为________．‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】∵函数 ‎∴，∴.‎ 由，可知：‎ a＜时，1=f（3a﹣1）=3（3a﹣1）﹣1，解得a=．‎ 当a≥1时，2a＞1，f（f（a））=1，不成立；‎ 当时，f（f（a））=1，23a﹣1=1，解得a=，（舍去）．‎ 综上a=．‎ 故答案为：2，．‎ ‎11.【2018届福建省数学基地校联考】若函数, ，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2>0，f(f(a))<0，显然不成立；当a>0时，f(a)＝－a2，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，则a＝± 或a＝0，故a＝.‎ ‎12.【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】记函数， 的定义域分别为，则__________．‎ ‎【答案】 或 ‎13.【2018届江苏省东台市创新学校高三9月月考】已知函数 的定义域为集合A，B={x|x＜a或x＞a+1}‎ ‎（1）求集合A； （2）若A⊆B，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）．（2）（﹣1，1]．‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据题目中使函数有意义的的值解分式不等式来求得函数的定义域 ‎(2)由若，根据两个集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围 解：（1）由，得：，解得：x≤﹣1或x＞2，‎ 所以A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）．‎ ‎（2）A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|x＜a或x＞a+1}因为A⊆B，所以，解得：﹣1＜a≤1，所以实数a的取值范围是（﹣1，1]．‎ ‎14.已知函数，，，其中为常数且，令函数．‎ ‎（1）求函数的表达式，并求其定义域；‎ ‎（2）当时，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【解析】（1），，，‎ ‎（2）函数的定义域为，令，则，，‎ ‎，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 易证时，单调递减，单调递增，，‎ 即函数的值域为．学——科网