高中数学选修2-2教案第五章 1_1~1_2 9页

‎1.1　数的概念的扩展 ‎1．2　复数的有关概念 明目标、知重点 ‎1．了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．‎ ‎2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．‎ ‎3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．‎ ‎4．理解复数的几何表示．‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数 ‎①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位．a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部．‎ ‎②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi (a，b∈R)．‎ ‎(2)复数集 ‎①定义：复数的全体组叫作复数集．‎ ‎②表示：通常用大写字母C表示．‎ ‎2．复数的分类及包含关系 ‎(1)复数(a＋bi，a，b∈R) ‎(2)集合表示：‎ ‎3．两个复数相等 a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d.‎ ‎4．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)；‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量＝(a，b)．‎ ‎5．复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝.‎ ‎[情境导学]‎ 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．‎ 探究点一　复数的概念 思考1　为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？‎ 答　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．‎ 思考2　如何理解虚数单位i?‎ 答　(1)i2＝－1.‎ ‎(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．‎ ‎(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．‎ ‎(4)若i2＝－1，那么i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.‎ 思考3　什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？‎ 答　形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中a、b分别叫作复数z的实部与虚部．‎ 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫作虚数；当a＝0且b≠0时，叫作纯虚数．‎ 例1　请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．‎ ‎①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.‎ 解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．‎ 反思与感悟　复数a＋bi中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫作复数的虚部．‎ 跟踪训练1　符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)实部为－的虚数；‎ ‎(2)虚部为－的虚数；‎ ‎(3)虚部为－的纯虚数；‎ ‎(4)实部为－的纯虚数．‎ 解　(1)存在且有无数个，如－＋i等；(2)存在且不唯一，如1－i等；(3)存在且唯一，即－i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.‎ 例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ 解　由已知得复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.‎ ‎(1)复数z是实数的充要条件是 ⇔ ‎⇔m＝－2.‎ ‎∴当m＝－2时复数z是实数．‎ ‎(2)复数z是虚数的充要条件是 ⇔m≠－3且m≠－2.‎ ‎∴当m≠－3且m≠－2时复数z是虚数．‎ ‎(3)复数z是纯虚数的充要条件是 ⇔⇔m＝3.‎ ‎∴当m＝3时复数z是纯虚数．‎ 反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．‎ 跟踪训练2　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ 解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.‎ ‎(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.‎ ‎(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，‎ 且m2＋2m－3≠0，‎ 解得m＝0或m＝－2.‎ 探究点二　两个复数相等 思考1　两个复数能否比较大小？‎ 答　如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．‎ 思考2　两个复数相等的充要条件是什么？‎ 答　复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ 例3　已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.‎ 解　由复数相等的充要条件得 解得 反思与感悟　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．‎ 跟踪训练3　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．‎ 解　∵M∪P＝P，∴M⊆P，‎ ‎∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.‎ 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得 解得m＝1；‎ 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得 解得m＝2.‎ 综上可知m＝1或m＝2.‎ 探究点三　复数的几何意义 思考1　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？‎ 答　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系．‎ 小结　建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．‎ 思考2　下列命题是否正确？‎ ‎①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；‎ ‎②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；‎ ‎③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；‎ ‎④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；‎ 答　根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题．‎ 思考3　复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？‎ 答　当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．‎ 思考4　怎样定义复数z的模？它有什么意义？‎ 答　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量＝(a，b)的模，记作|z|或|a＋bi|.‎ ‎|z|＝|a＋bi|＝可以表示点Z(a，b)到原点的距离．‎ 例4　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．‎ 解　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.‎ ‎(1)由题意得m2－m－2＝0.‎ 解得m＝2或m＝－1.‎ ‎(2)由题意得，‎ ‎∴，∴－1b，则a＋i>b＋i C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1‎ D．两个虚数不能比较大小 答案　D 解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，‎ 当a＝0且b≠0时为纯虚数．‎ 在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；‎ 在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；‎ 在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．‎ ‎3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)‎ A．2－2i B．－＋i C．2＋i D.＋i 答案　A 解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ 由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.‎ ‎4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)‎ A. B．2‎ C．0 D．1‎ 答案　D 解析　由复数相等的充要条件知，‎ 解得∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.‎ ‎5．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　⇒m＝－2.‎ ‎6．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．‎ 解　∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，‎ ‎∴解得 所以实数x，y的值分别为，2.‎ 二、能力提升 ‎7．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．－1或－2‎ 答案　A 解析　由题意，得解得x＝1.‎ ‎8．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.‎ 答案　2　±2‎ 解析　由z1＝z2得，解得.‎ ‎9．已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，所以 解得a＝－1.‎ ‎10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ 解　(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.‎ 故若使z为实数，则，‎ 解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．‎ ‎(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.‎ 故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，‎ 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．‎ ‎(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.‎ 故若使z为纯虚数，则，‎ 解得m＝－或m＝1.‎ 所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．‎ ‎11．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1z2时，m值的集合为空集；当z1