专题7-4+基本不等式及应用（测）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 8页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【测】第七章 不等式 第04节 基本不等式及其应用 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1.下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎2. 【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列‎{an}‎中，若an‎>0‎，且a‎5‎‎=2‎，则‎1‎a‎2‎‎+‎‎9‎a‎8‎的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列性质得：‎a‎2‎‎+a‎8‎=2a‎5‎=4,‎ ‎ ‎1‎a‎2‎‎+‎‎9‎a‎8‎=‎1‎‎4‎‎(‎1‎a‎2‎+‎9‎a‎8‎)(a‎2‎+a‎8‎)=‎1‎‎4‎(1+9+‎9‎a‎2‎a‎8‎+a‎8‎a‎2‎)≥‎1‎‎4‎(10+2‎9‎a‎2‎a‎8‎‎*‎a‎8‎a‎2‎)=4‎ ，‎ 等号成立的条件为‎9‎a‎2‎a‎8‎‎=a‎8‎a‎2‎,a‎8‎=3‎a‎2‎ ，故选A．‎ ‎3. 【2018东北四市一模试题】已知x>0‎，y>0‎，且‎4x+y=xy，则x+y的最小值为( )‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：‎4‎y‎+‎1‎x=1‎，则：‎ x+y=x+y‎4‎y‎+‎‎1‎x=5+‎4xy+yx≥5+2‎4xy‎×‎yx=9‎‎，‎ 当且仅当x=3,y=6‎时等号成立，‎ 综上可得：则x+y的最小值为9.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4.设，若的最小值为 A. B.8 C. D.‎ ‎【答案】D ‎5.已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为(　　)‎ A. B.2 C. D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】　∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2，‎ ‎∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2，‎ ‎∴4≤4xy－2，即(－2)(＋1)≥0，‎ ‎∴≥2，∴xy≥2.‎ ‎6. 已知函数，若且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得：，‎ 所以.注意，因为，所以不能取等号.选D.‎ ‎7.点在由点、确定的直线上，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，则选A.‎ ‎8.设均为正数，且，则的最小值为（ ）‎ A．16 B．15 C．10 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选D.‎ ‎9. 【2018河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）‎ A. 10 B. 15 C. 20 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得： ，由可得，‎ 由等比数列的性质可得： 成等比数列，‎ 则： ，综上可得：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 综上可得，则的最小值为20.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10. 【2018黑龙江大庆实验中学模拟】若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的 最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎11. 【2018湖南岳阳一中模拟】已知，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，而（当且仅当时取等号），故 （当且仅当取等号），应选答案A。‎ ‎12．【2018河南南阳第一中学模拟】已知，若，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 14 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】恒成立，‎ 即恒成立，‎ 只要，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 本题选择B选项.‎ 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13．【2018江西南昌模拟】已知函数的最小值为6，则正数的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 令 的最小值为6 ， 解得 ，故答案为 ‎ ‎14. 【2018江苏南京溧水高级中学模拟】以为钝角的中， ，当角最大时， 面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过作，垂足为，则， ，又，设，则，当且仅当，即时取“=”，由正切函数的单调性可知此时也最大，综上所述， 的面积为，‎ 故答案为.‎ ‎15. 【2018河南南阳市第一中学模拟】设， 时满足的正数，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵x，y是满2x+y=4的正数 即xy⩽2‎ ‎∴lgx+lgy=lgxy⩽lg2即最大值为lg2.‎ ‎16．【2018河南师范大学附属中学模拟】已知分别为内角的对边， ，且，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ 解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．利用基本不等式求最值：‎ ‎（1）若，求函数 的最小值，并求此时x的值.‎ ‎（2）设 ，求函数 的最大值.‎ ‎【解析】（1）当时，，所以当且仅当，即x=2时取等号.‎ 因此，函数 在x = 2时取得最小值4 .‎ ‎（2）由 得，,所以 ‎，‎ 当且仅当2x=3-2x，即x = 时取等号.因此，函数的最大值为 ‎18．若对任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【解析】∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可．‎ ‎∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．‎ 由u≥5，知0< ≤，∴a≥.‎ ‎19．【2018·山东齐鲁名校第二次调研】首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎ 20．在中，角所对的边分别为，已知,．‎ ‎（1）当成等差数列时，求的面积；‎ ‎（2）设为边的中点，求线段长的最小值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为成等差数列，所以，‎ 由余弦定理，得，解得，‎ 从而. ‎ ‎（2）方法一：因为为边的中点，所以，‎ 则 ‎，当且仅当时取等号，‎ 所以线段长的最小值为.‎ 方法二：因为为边的中点，所以可设，‎ 由，得，‎ 即，‎ 又因为，‎ 即，所以，‎ 故，当且仅当时取等号，‎ 所以线段长的最小值为. ‎ ‎ ‎