2021版高考数学一轮复习核心素养测评二十六正弦定理、余弦定理的应用举例理北师大版 8页

核心素养测评二十六 正弦定理、余弦定理的应用举例 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC ‎=120°,则A,C两地间的距离为 (　　)‎ A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km ‎【解析】选D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB2-2AB·CB·cos120°=102+202-2×10×‎ ‎20×=700.所以AC=10(km).‎ ‎2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 (　　)‎ A.小时 B.小时 ‎ C.小时 D.小时 ‎【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:‎ 可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,‎ 由余弦定理可得,‎ CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD ‎=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×=28x2-20x+100,‎ - 8 -‎ 所以当x=时两船相距最近.‎ ‎3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为 (　　)‎ A.(30+30)m B.(30+15)m C.(15+30)m　 D.(15+15)m ‎【解析】选A.在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,sin 15°‎ ‎=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=.由正弦定理得PB==30(+)(m),所以建筑物的高度为PBsin 45°‎ ‎=30(+)×=(30+30)m.‎ ‎4.已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为 km,则A,B两船的距离为 (　　)‎ A. km　　　　　　 B. km C.2 km D.3 km ‎【解析】选A.画出图形如图所示,‎ 由题意可得∠ACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 150°=13,所以AB=,即A,B两船的距离为 km.‎ - 8 -‎ ‎5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A沿北偏东30°方向前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 (　　)‎ A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m ‎【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,‎ 则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,‎ BC=h,根据余弦定理得,‎ ‎(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,‎ 即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50 m.‎ ‎6.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于 (　　)‎ A.5　　B.15　　C.5　　D.15‎ ‎【解析】选D.在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=15.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB ‎=15×=15.‎ ‎7.长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α= (　　)‎ A.　　B.　　C.　　D.‎ - 8 -‎ ‎【解析】选A.由已知,在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+‎ ‎∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,所以tan α==.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.一艘海轮从A出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,则B,C两点间的距离是________________海里. ‎ ‎【解析】如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,‎ ‎ 从而∠ACB=45° .‎ 在△ABC 中,由正弦定理,得BC=×sin 30°=10.‎ 答案:10‎ ‎9.(2018·德州模拟)如图,某炮兵阵地位于A点,两观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为正三角形,且DC= km,当目标出现在点B时,测得∠CDB=45°,‎ ‎∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离是________________.(保留1位小数) ‎ ‎【解析】∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.‎ 在△BCD中,由正弦定理,得 BD==.‎ 在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,‎ - 8 -‎ 由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°‎ ‎=3++2×××=5+2.‎ 所以AB=≈2.9(km).‎ 所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.‎ 答案:2.9 km ‎10.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向,且与A相距10海里的C处,沿东偏南15°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为________________小时.  ‎ ‎【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时,如图,‎ 在△ABC中,AC=10海里,AB=21x海里,BC=9x海里,∠ACB=120°.由余弦定理得(21x)2=100+(9x)2-2×10×9x×cos 120°,整理,得36x2-9x-10=0,解得x=或x=-(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时.‎ 答案:‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得 ‎∠BCD=120°,C,D两地相距600 m,则铁塔AB的高度是(　　)‎ - 8 -‎ A.120 m B.480 m C.240 m D.600 m ‎【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD= x,‎ 在△BCD中,由余弦定理知cos 120°===-,‎ 解得x=600 m,(x=-300舍去).‎ 故铁塔AB的高度为600 m.‎ ‎2.(5分)如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cos θ=‎ ‎________________. ‎ ‎【解析】由∠DAC=15°,∠DBC=45°得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC ‎=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由内角和定理可得∠DCB=180°‎ ‎-(45°-θ)-45°=90°+θ,根据正弦定理可得=,即DB=‎ ‎100sin 15°=100×sin (45°-30°)=25(-1),又=,即=,得到cos θ=-1.‎ 答案:-1‎ ‎3.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为________________米. ‎ - 8 -‎ ‎【解析】设山高CD为x米,在Rt△BCD中,有BD=CD=x米,在Rt△ACD中,有AC=2x米,AD=x米.‎ 而AB=AD-BD=(-1)x=100.‎ 解得:x=50+50.‎ 答案:(50+50)‎ ‎4.(10分)已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? ‎ ‎【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x海里,AC=5海里,由已知,∠BAC=180°‎ ‎-38°-22°=120°,‎ 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.‎ - 8 -‎ 又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°,又∠BAD=‎ ‎38°,所以BC∥AD,‎ 所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.‎ ‎5.(10分)已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100 m和BN=200 m,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离. ‎ ‎【解析】在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100 m,所以PM=100 m.‎ 连接QM,在△PQM中,∠QPM=60°,‎ 又PQ=100 m,‎ 所以△PQM为等边三角形,‎ 所以QM=100 m.‎ 在Rt△AMQ中,由AQ2=AM2+QM2得AQ=200 m.‎ 在Rt△BNQ中,tan θ=2,BN=200 m,‎ 所以BQ=100 m,cos θ=.‎ 在△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ·AQcos θ ‎=(100)2,所以BA=100.‎ 所以两发射塔顶A,B之间的距离是100 m.‎ - 8 -‎