高中数学选修第2章2_2_1同步练习 4页

高中数学人教A版选2-1 同步练习 若P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1上一点，则三角形PF‎1F2的周长等于(　　)‎ A．16　　　　　　　　　　 B．18‎ C．20 D．不确定 解析：选B.由椭圆的定义知‎2a＝10，‎2c＝2＝8，所以三角形PF‎1F2的周长等于10＋8＝18.‎ 已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋x2＝1‎ 解析：选A.c＝1，a＝＝2，∴b2＝a2－c2＝3.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ 已知椭圆的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且|F‎1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．‎ 解析：由题设知|PF1|＋|PF2|＝2|F‎1F2|＝4，‎ ‎∴‎2a＝4，‎2c＝2，∴b＝，‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ 椭圆＋＝1的焦距为2，则m等于__________．‎ 解析：∵‎2c＝2，∴c＝1.当椭圆的焦点在x轴上时，由4－m＝1得m＝3；当椭圆的焦点在y轴上时，由m－4＝1得m＝5.‎ 答案：3或5‎ ‎[A级　基础达标]‎ 若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选D.将点(－2，)代入椭圆方程求得b2＝4，于是焦距‎2c＝2＝4.‎ 已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)‎ A.＋＝1‎ B.＋＝1或＋＝1‎ C.＋y2＝1‎ D.＋y2＝1或x2＋＝1‎ 解析：选D.由a2＝b2＋c2，∴b2＝13－12＝1.分焦点在x轴和y轴上写标准方程．‎ 如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a>3 B．a<－2‎ C．a>3或a<－2 D．a>3或－63或－65)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F‎1F2|＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为__________．‎ 解析：由已知c＝4，∴a＝＝.‎ 根据椭圆定义可得：△ABF2的周长为‎4a＝4.‎ 答案：4 求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎(1)椭圆上一点P(3，2)到两焦点的距离之和为8；‎ ‎(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.‎ 解：(1)①若焦点在x轴上，‎ 可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 由题意知‎2a＝8，∴a＝4，‎ 又点P(3，2)在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1，得b2＝.‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：‎ ＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵‎2a＝8，∴a＝4.‎ 又点P(3，2)在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1，得b2＝12.‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 由①②知椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(2)由题意知，‎2c＝16，‎2a＝9＋15＝24，‎ ‎∴a＝12，c＝8，∴b2＝80.‎ 又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，‎ ‎∴所求方程为 ＋＝1或＋＝1.‎ ‎[B级　能力提升]‎ (2012·宜宾质检)“m>n>‎0”‎是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.m>n>0⇒>>0⇒方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆；反之，若方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m>n>0.‎ 已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF‎1F2是(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解析：选B.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝‎2a＝4，且已知|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝.又|F‎1F2|＝‎2c＝2.所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F‎1F2|2.因此∠MF‎2F1＝90°，△MF‎1F2为直角三角形．‎ 已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1||PF2|＝__________．‎ 解析：两焦点的坐标分别为F1(－5，0)、F2(5，0)，由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F‎1F2|2＝100.‎ 而|PF1|＋|PF2|＝14，‎ ‎∴(|PF1|＋|PF2|)2＝196，100＋2|PF1|·|PF2|＝196，|PF1||PF2|＝48.‎ 答案：48‎ 已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.‎ ‎(1)求M的横坐标；‎ ‎(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．‎ 解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，‎ 得＋＝1，即x2＝9.‎ ‎∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.‎ ‎(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5)，‎ 把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.‎ 故所求椭圆的方程为＋＝1.‎ (创新题)已知椭圆中心在原点，两焦点F1、F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F‎1A⊥F‎2A，求椭圆的标准方程．‎ 解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)．‎ ‎∵F‎1A⊥F‎2A，∴·＝0，‎ 而＝(－4＋c，3)，‎ ＝(－4－c，3)，‎ ‎∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，‎ ‎∴c2＝25，即c＝5.‎ ‎∴F1(－5，0)，F2(5，0)．‎ ‎∴‎2a＝|AF1|＋|AF2|‎ ‎＝ ＋ ‎＝＋＝4.‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎