数学卷·2018届重庆市万州区纯阳中学高二上学期11月月考数学试卷（解析版） 16页

‎2016-2017学年重庆市万州区纯阳中学高二（上）11月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，集合B={1，3，5}，则A∩（∁UB）等于（　　）‎ A．{2，4} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{0，2，4}‎ ‎2．已知命题p：∃m∈Q，3m＞10，则￢p为（　　）‎ A．∃m∈Q，3m≤10 B．∃m∈Q，3m＞10 C．∀m∈Q，3m≤10 D．∀m∈Q，3m＞10‎ ‎3．函数y=xcosx的导数为（　　）‎ A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinx C．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx ‎4．已知p：|x|＞1，q：x2+5x+6＜0，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．函数的定义域为（　　）‎ A．（1，3）∪（3，4） B．[1，3]∪（4，5） C．（1，2）∪（2，3） D．（1，2）∪（2，3]‎ ‎6．若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（　　）‎ A． B． C． D．﹣1‎ ‎7．已知f（x）=mx3+nx+c（其中m，n，c为常数）在x=2处取得极值c﹣16，则m+n=（　　）‎ A．﹣16 B．﹣12 C．﹣11 D．0‎ ‎8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=5，且f（x+4）=﹣f（x），则f的值为（　　）‎ A．0 B．﹣5 C．2 D．5‎ ‎9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，M（n，﹣2）是图象上的一点，A、B是二次函数图象与x轴的两个交点，且AM⊥BM，则a的值为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎10．设定义在R上的函数，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是（　　）‎ A． B．1+a+b=0‎ C．x1+x3=﹣6 D．a2﹣4b=0‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．计算： =　　．‎ ‎12．将反比例函数y=（k为非零常数）的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的图象过点（﹣3，1），则k=　　．‎ ‎13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f（x+1）＜f（3）的x取值范围是　　．‎ ‎14．函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（6x﹣x2）的递增区间是　　．‎ ‎15．设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f（x）=f（﹣x），f′（x）＜f（x），a=ef（2），b=f（﹣3），c=e2f（1），则a、b、c从小到大的顺序为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知命题p：函数y=cx为减函数；命题q： x+c＞0对x∈‎ R恒成立，如果￢q为真命题，p或q为真命题，求c的取值范围．‎ ‎17．已知f（x）=x3+ax2﹣（2a+3）x+a2（a∈R）．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在x=﹣1处的切线与直线2x﹣y﹣1=0平行，求a的值；‎ ‎（2）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间．‎ ‎18．已知f（x﹣1）=x2﹣3x．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式．‎ ‎（2）设g（x）=f（x+a）+x，（a为实常数），求g（x）在[﹣1，3]的最小值．‎ ‎19．已知函数f（x）=，且f（2）=﹣7．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）判断f（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（3）若方程f（x）+m=0在x∈[1，4]上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎20．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：对∀x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣3，并且当x＞0时，f（x）＜3．‎ ‎（1）求f（0）的值；‎ ‎（2）判断f（x）是R上的单调性并作出证明；‎ ‎（3）若不等式f（（t﹣2）|x﹣4|）+3＞f（t2+8）+f（5﹣4t）对t∈（2，4）恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）=mx﹣lnx﹣3（m∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤nx﹣4有解，求实数n的取值范围；‎ ‎（3）当0＜a＜b＜4且b≠e时试比较与．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市万州区纯阳中学高二（上）11月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，集合B={1，3，5}，则A∩（∁UB）等于（　　）‎ A．{2，4} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{0，2，4}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出A∩∁UB．‎ ‎【解答】解：∵U={0，1，2，3，4，5}，集合B={1，3，5}，‎ ‎∴∁UB={0，2，4}‎ ‎∵A={2，4}，‎ ‎∴A∩∁UB={2，4}‎ 故选A ‎　‎ ‎2．已知命题p：∃m∈Q，3m＞10，则￢p为（　　）‎ A．∃m∈Q，3m≤10 B．∃m∈Q，3m＞10 C．∀m∈Q，3m≤10 D．∀m∈Q，3m＞10‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】由题意，命题“∃m∈Q，3m＞10”，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可．‎ ‎【解答】解：命题“∃m∈Q，3m＞10”是一个特称命题，其否定是一个全称命题，‎ 由“任意的”否定为“存在”，“＞“的否定为“≤”可得，‎ 命题“∃m∈Q，3m＞10”的否定为“∀m∈Q，3m≤10”．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=xcosx的导数为（　　）‎ A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinx C．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】利用导数的运算法则（μv）′=μ′v+μv′及导数的公式cosx′=﹣sinx求出导函数即可．‎ ‎【解答】解：根据（μv）′=μ′v+μv′可得 y′=x′cosx+x（cosx）′=cosx﹣xsinx 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知p：|x|＞1，q：x2+5x+6＜0，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别把命题p和q解出来，然后再根据必要条件和充分条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：∵p：{x||x|＞1}，‎ ‎∴p：{x|x＜﹣1或x＞1}，‎ ‎∵q：{x|x2+x+6＜0}，‎ ‎∴q：{x|﹣3＜x＜﹣2}，‎ ‎∴q⇒p，反之则不能，‎ ‎∴p是q的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．函数的定义域为（　　）‎ A．（1，3）∪（3，4） B．[1，3]∪（4，5） C．（1，2）∪（2，3） D．（1，2）∪（2，3]‎ ‎【考点】对数函数的定义域．‎ ‎【分析】‎ 根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，偶次根式下大于等于0，分母不等于0，建立不等式组，解之即可．‎ ‎【解答】解：要使原函数有意义，则，‎ 解得：1＜x＜2，或2＜x≤3．‎ 所以原函数的定义域为（1，2）∪（2，3]．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（　　）‎ A． B． C． D．﹣1‎ ‎【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．‎ ‎【分析】设幂函数f（x）=xα，根据y=f（x）的图象过点（5，），可得 4α=2，解得 α的值，可得函数解析式 从而求出的值．‎ ‎【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象过点（5，），‎ 设 f（x）=xα，‎ ‎∴5α=，解得 α=﹣1．‎ ‎∴f（x）=x﹣1．‎ ‎∴=f（）=f（）=（）﹣1=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知f（x）=mx3+nx+c（其中m，n，c为常数）在x=2处取得极值c﹣16，则m+n=（　　）‎ A．﹣16 B．﹣12 C．﹣11 D．0‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】先求导数得f'（x）=3mx2+n，由x=2处取得极值c﹣16，得到两个条件f'（2）=0与f（2）=c﹣16，然后联立方程可求m，n．‎ ‎【解答】解：若m=0，则函数f（x）=nx+c，为直线，此时函数无极值，所以m≠‎ ‎0．函数的导数为f′（x）=3mx2+n，‎ 因为函数f（x）在x=2处取得极值c﹣16，所以有f'（2）=0与f（2）=c﹣16，即12m+n=0 ①‎ ‎8m+2n+c=c﹣16，即8m+2n=﹣16 ②，两式联立解得m=1，n=﹣12，‎ 所以m+n=1﹣12=﹣11．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=5，且f（x+4）=﹣f（x），则f的值为（　　）‎ A．0 B．﹣5 C．2 D．5‎ ‎【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．‎ ‎【分析】根据奇函数在原点有意义得f（0）=0，再由f（x+4）=﹣f（x）求得函数的周期为8，利用周期性和条件分别把f进行转化，直到求出函数值为止．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，‎ 由f（x+4）=﹣f（x）得，f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），即函数的周期为8，‎ ‎∴f=f（4）=﹣f（0）=0，‎ f=f=f（7）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5，‎ 则f=﹣5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，M（n，﹣2）是图象上的一点，A、B是二次函数图象与x轴的两个交点，且AM⊥BM，则a的值为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】设出函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标，根据AM⊥‎ BM列出关于A，B两点的横坐标的关系式，利用根与系数关系把A，B两点的横坐标的和与积代入上面得到的关系式，再根据点在抛物线上得到另一关系式，联立后可求得a的值．‎ ‎【解答】解：设函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，‎ 所以，‎ 因为AM⊥BM，所以AM2+BM2=AB2，‎ 所以，‎ 整理得，n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0，‎ 所以，，‎ 所以an2+bn+4a+c=0．‎ 因为M（n，﹣2）是图象上的一点，所以an2+bn+c=﹣2，‎ 则﹣4a=﹣2，所以a=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．设定义在R上的函数，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是（　　）‎ A． B．1+a+b=0‎ C．x1+x3=﹣6 D．a2﹣4b=0‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有3个解，则必然含有x=1这样一个解，另外2个则在分段函数的另一段里面，刚好它是个绝对值函数，可以提供2个不同自变量时为同一值．既然含有x=1的解，此时f（1）=1，我们知道另外2个值也是1的肯定也能满足方程，所以关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有3个不同实数解时，f（x）=1，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：分段函数的图象如图所示 由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．‎ ‎∵=1时，x=﹣2或﹣4．‎ ‎∴关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有3个不同实数解时，‎ 解分别是﹣4，﹣3，﹣2，且x1=﹣4，x2=﹣3，x3=﹣2，‎ ‎∴=16+9+4=29，x1+x3=﹣6，‎ ‎∵f（x）=1，∴1+a+b=0‎ ‎∵a2﹣4b=a2+4a+4=（a+2）2≥0‎ ‎∴D不正确 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．计算： =　﹣1　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】将式子利用对数的运算性质变形，提取公因式，化简求值．‎ ‎【解答】解： =1﹣4+lg52+2lg2=﹣3+2（lg5+lg2）=﹣3+2=﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎12．将反比例函数y=（k为非零常数）的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的图象过点（﹣3，1），则k=　﹣6　．‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化．‎ ‎【分析】根据向左平移，横左边减，向下平移纵坐标减求出平移后的函数图象的解析式，再将点的坐标代入即可求出k值．‎ ‎【解答】解：将反比例函数y=（k为非零常数）的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，‎ 平移后的函数解析式为y=，‎ 根据所得的图象过点（﹣3，1），则，∴k=﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎　‎ ‎13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f（x+1）＜f（3）的x取值范围是　（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由偶函数的性质和单调性以及f（x+1）＜f（3）可得|x+1|＞|3|，根据绝对值不等式的解法，解不等式可求范围．‎ ‎【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，‎ 由偶函数的对称区间上单调性相反可知f（x）在（﹣∞，0]上单调递增 ‎∵f（x+1）＜f（3）‎ ‎∴|x+1|＞|3|=3，即x+1＞3或x+1＜﹣3，解得x＜﹣4或x＞2，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（6x﹣x2）的递增区间是　（0，3）　．‎ ‎【考点】反函数；复合函数的单调性．‎ ‎【分析】欲求函数y=f（6x﹣x2）的递增区间，可先函数y=f（x）的解析式，由已知得y=f（x）的图象与y=3x的图象关于直线y=x对称，根据互为反函数的图象的对称性可知，它们互为反函数图象，故只要求出y=f（x）的反函数即可解决问题．‎ ‎【解答】解：先求y=3x的反函数，为y=log3x，‎ ‎∴f（x）=log3x，f（6x﹣x2）=log2（6x﹣x2）．‎ 令u=6x﹣x2，则u＞0，即6x﹣x2＞0．‎ ‎∴x∈（0，6）．‎ 又∵u=﹣x2+6x的对称轴为x=3，且对数的底为3＞1，‎ ‎∴y=f（6x﹣x2）的递增区间为（0，3）．‎ 故答案为：（0，3）．‎ ‎　‎ ‎15．设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f（x）=f（﹣x），f′（x）＜f（x），a=ef（2），b=f（﹣3），c=e2f（1），则a、b、c从小到大的顺序为　b＜a＜c　．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】根据题目给出的要比较的三个数的特点，想到构造函数g（x）=e3﹣xf（x），求导后判断出函数g（x）的单调性，利用单调性比较出f（3），ef（2），e2f（1）的大小，结合函数f（x）为偶函数可得答案．‎ ‎【解答】解：设g（x）=e3﹣xf（x），‎ ‎∴g′（x）=﹣e3﹣xf（x）+e3﹣xf′（x）=e3﹣x[f′（x）﹣f（x）]，‎ ‎∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）为定义域内的减函数．‎ ‎∴g（3）＜g（2）＜g（1）．‎ 即f（3）＜ef（2）＜e2f（1）．‎ ‎∵f（x）=f（﹣x），∴f（﹣3）=f（3）．‎ ‎∴f（﹣3）＜ef（2）＜e2f（1）．‎ 即b＜a＜c．‎ 故答案为：b＜a＜c．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知命题p：函数y=cx为减函数；命题q： x+c＞0对x∈R恒成立，如果￢q为真命题，p或q为真命题，求c的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先求出命题p，q为真命题时的等价条件，然后利用条件￢q为真命题，p或q为真命题去判断命题p，q的真假．‎ ‎【解答】解：由命题p知0＜c＜1‎ 由命题q知，‎ 由¬q为真命题，p或q为真命题．p真q假，则即 可知，c的取值范围为 ‎　‎ ‎17．已知f（x）=x3+ax2﹣（2a+3）x+a2（a∈R）．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在x=﹣1处的切线与直线2x﹣y﹣1=0平行，求a的值；‎ ‎（2）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）先求导数，由条件知f'（﹣1）=2，然后求解．‎ ‎（2）求函数的导数，利用导数不等式求函数的单调区间．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得f'（x）=3x2+2ax﹣（2a+3），因为y=f（x）在x=﹣1处的切线与直线2x﹣y﹣1=0平行，‎ ‎∴f'（﹣1）=2‎ ‎∴f'（﹣1）=3﹣2a﹣（2a+3）=2，∴．‎ ‎（2）∵a=﹣2，∴f（x）=x3﹣2x2+x+4‎ ‎∴f'（x）=3x2﹣4x+1，令f'（x）＞0，得．‎ 令f'（x）＜0，得．‎ ‎∴f（x）单调递增区间为，（1，+∞），f（x）单调递减区间为．‎ ‎　‎ ‎18．已知f（x﹣1）=x2﹣3x．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式．‎ ‎（2）设g（x）=f（x+a）+x，（a为实常数），求g（x）在[﹣1，3]的最小值．‎ ‎【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（1）把给出的函数式右边配方为x﹣1及常数的形式，则函数f（x）的解析式可求；‎ ‎（2）利用（1）中求出的f（x）的解析式，代入g（x）=f（x+a）+x后，利用二次函数的对称轴与区间[﹣1，3]的关系分类讨论求出g（x）在[﹣1，3]的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x﹣1）=x2﹣3x=x2﹣2x+1﹣x+1﹣2=（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣2‎ 所以，f（x）=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）g（x）=f（x+a）+x=x2+2ax+a2﹣a﹣2，‎ 当﹣a≤﹣1，即a≥1时，最小值为g（﹣1）=a2﹣3a﹣1；‎ 当﹣1＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜1时，最小值为g（﹣a）=﹣a﹣2；‎ 当﹣a≥3，即a≤﹣3时，最小值为g（3）=a2+5a+7．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=，且f（2）=﹣7．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）判断f（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（3）若方程f（x）+m=0在x∈[1，4]上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断；函数的值域．‎ ‎【分析】（1）由题意把x=2代入f（x）列出方程，求解即可；‎ ‎（2）由（1）得求出f（x）的解析式，再求出函数的定义域，再求出f（﹣x）判断与f（x）的关系，即可得答案；‎ ‎（3）将条件转化为“m=﹣f（x）在x∈[1，4]上有解”，再判断函数的单调性，求出值域，即可得到m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得f（2）=﹣7，把x=2代入f（x）得 ‎=﹣7，解得a=3，‎ ‎（2）由（1）得，且函数的定义域为{x|x≠0}，‎ 又f（﹣x）==﹣f（x），所以函数f（x）奇函数，‎ ‎（3）由题意得“f（x）+m=0在x∈[1，4]上有解”转化为“m=﹣f（x）在x∈[1，4]上有解”，‎ 设，g（x）在[1，4]上递增，‎ 则m的范围是g（x）的值域，即．‎ ‎　‎ ‎20．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：对∀x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣3，并且当x＞0时，f（x）＜3．‎ ‎（1）求f（0）的值；‎ ‎（2）判断f（x）是R上的单调性并作出证明；‎ ‎（3）若不等式f（（t﹣2）|x﹣4|）+3＞f（t2+8）+f（5﹣4t）对t∈（2，4）恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；全称命题．‎ ‎【分析】（1）利用赋值法，令x=0，y=0，结合f（x+y）=f（x）+f（y）﹣3，可求f（0）的值；‎ ‎（2）在R上设出两个变量，利用当x＞0时，f（x）＜3，确定函数值的大小关系，即可证得结论；‎ ‎（3）利用单调性，转化为具体不等式，再分离参数，利用基本不等式，即可求得实数x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）令x=0，y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）﹣3，‎ ‎∴f（0）=3；‎ ‎（2）f（x）是R上的减函数，证明如下：‎ 设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣3﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣3，‎ ‎∵x1﹣x2＞0，‎ ‎∴f（x1﹣x2）＜3，‎ ‎∴f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的减函数；‎ ‎（3）由（2）知f（x）是R上的减函数，‎ ‎∴（t﹣2）|x﹣4|＜t2﹣4t+13对t∈（2，4）恒成立，‎ ‎∴对t∈（2，4）恒成立，‎ ‎∴|x﹣4|＜‎ ‎∴‎ 设，当t∈（2，4）时 于是，解得：．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=mx﹣lnx﹣3（m∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤nx﹣4有解，求实数n的取值范围；‎ ‎（3）当0＜a＜b＜4且b≠e时试比较与．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1），由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数．‎ ‎（2）由函数f（x）在x=1处取得极值，知m=1，故f（x）≥nx﹣4⇔，由此能求出实数n的取值范围．‎ ‎（3）由于0＜a＜b＜4且b≠e，则，‎ 又由（2）可知，在 （0，4）上是减函数，由此能够比较与的大小关系．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 当m≤0时，f'（x）＜0无极值 当m＞0时，f'（x）=0时，‎ 则函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎∴为极小值点，无极大值点 ‎（2）f'（1）=m﹣1=0，∴m=1，∴f（x）=x﹣lnx﹣3‎ 由题意知，x﹣ln3﹣3≤nx﹣4在x∈（0，+∞）有解 ‎∴有解，‎ 令，即n≥g（x）min，‎ 则函数f（x）在区间（0，e2）上单调递减，在区间（e2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）由 （2）知在 （0，4）上是减函数 ‎∵0＜a＜b＜4，∴g（a）＞g（b）‎ ‎∴，∴b（1﹣lna）＞a（1﹣lnb）‎ 当0＜b＜e时，1﹣lnb＞0，∴；‎ 当e＜b＜4时，1﹣lnb＜0，∴‎