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- 2021-06-21 发布
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安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考
数学试题(理)
命题:合肥一六八中学
考试时间:120分钟 满分:150分
一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.若集合,且,则集合B可以是( )
A.} B.} C. D.R
2.若复数其中a,b是实数,则复数a+bi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知是等差数列的前n项和,且对,下列说法不正确的是( )
A、 B、
C、成等差数列; D、数列是等差数列;
4.已知函数 f(x)是定义域在R上的奇函数,且在[0,+∞)单调递增,若实数a满足
,则a的取值范围是( )
A、(-,2] B、(0, ] C、[ ,2] D、(0,2]
5.如图是某几何体的三视图,则该几何体内切球的表面积为( )
A.3p B. C. D、
6.已知x,y满足约束条件,则目标函数的最大值和最小值的差等于( )
A、1 B、-1 C、2 D、-2
7.若a和b都是计算机在区间(0,2)上产生的随机数,那么ab<1的概率为( )
A. B. C. D.
8.设函数f(x)=是常数,),且函数f(x)
的部分图象如图所示,将函数f(x)图象向右平移个单位所得函数图象与g(x)= 图象重合,则a的值可以是( )
A、-p B、-p C、p D、
9.若,若=84,则实数a的值为( )
A、1 B、2 C、-2 D、-3
10.已知点P(x,y)满足 ,过点P作抛物线x2=8y的两条切线,切点为A,B,则直线AB斜率的最大值为( )
A、 B、 C、 D、
11.若数列的前n项和满足:对都有(M为常数)成立,则称数列为“和敛数列”,则数列,,, = 中是“和敛数列”有( )个。
A、1 B、2 C、3 D、4
12 .定义在 R 上 的函数 f(x) 满足 : f(x+1)== f(x-1) ,且 当 x[0,2) 时,
,使方程有3个解的一个充分不必要条件是( )
A、a(-1,0) B、a(-1, ) C、a D、a )
二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.运行右边程序框图,当输入某个正整数n后,输出的S(10,20),那么n的值为 。
14.已知正方形ABCD的边长为 2,点P,Q分别是边AB,BC边上的动点,且AP=BQ,则的最小值为 。
15.已知F1,F2是双曲线 1(a>0,b>0)的左右两个焦点,P是双曲
线右支上一点,PF1F2内切圆方程为圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,过F作
F1MPC于M,O为坐标原点,则OM的长度为 。
16.底面是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,Q是棱BC的中点,点P在线段BD1上,当C1Q//平面APC时,则的值为 。
三.解答题(共7题,合70分,写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(一)必做题:共60分
17.(本题满分12分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足1+
(1)求A的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,求函数y=2sin2B-2cosBcosC的值域;
18.(本题满分12分)为了落实习主席提出 “绿水清山就是金山银山”的环境治理要求,全国各地纷纷规定春节期间禁止燃放烟花爆竹,以减轻大量燃放烟花爆竹造成的环境污染。有关部门在除夕和初一对往年燃放严重的10万个地点测量了PM2.5的浓度,调查数据显示这些PM2.5的浓度值服从正态分布N(168,16).现从合肥地区的数据中随机抽取50个进行分析,发现这些数据都在160到184之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组[160,164),第二组[164,168),第六组[180,184),如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估春节期间合肥地区PM2.5浓度的中位数及这50个地点PM2.5的浓度在172以上(含172)的个数;
(2)在这50个数据中PM2.5浓度值在172以上(含172)中任意抽取2个,这2个PM2.5的浓度值在全国前130名(从高到低)的个数记为,求的数学期望。
参考数据:若2),则
0.6826,
0.9544,
0.9974
19.(本题满分12分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
AB//CD,AB=BC=CC1=2CD,E为线段AB的中点,F是线段DD1上的动点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面BCC1B1
(Ⅱ)若∠BCD=∠C1CD=60°,且平面D1C1CD平面ABCD,求平面BCC1B1与DC1B1平面所成角(锐角)的余弦值.
20.本题满分12分)已知F(2,0)是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F关于y轴的对称点为F/,
曲线W上任意一点Q满足:直线FQ和直线FQ的斜率之积为。
(1)求曲线W的方程;
(2)过F(2,0)且斜率为正数的直线l与抛物线交于A,B两点,其中点A在x轴上方,与曲线W
交于点C,若△F/BF的面积为S1,△F’CF的面积为S2 ,当时,求直线l的方程。
21.(本题满分12分)已知函数,,
(1)求证:对R,函数f(x)与g(x)存在相同的增区间;
(2)若对任意的,都有f(x)>g(x)成立,求正整数k的最大值
(二)选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程.经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点。
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)当|PM|-|PN|=1时,求直线l的方程;
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x-2|-|2x-a|,a∈R
(1)当a=3时,解不等式f(x)>0;
(2)当x∈(-∞,2)时,f(x)+x2>0恒成立,求a的取值范围.
安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考
数学(理科)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
B
C
A
A
B
D
C
D
二、填空题
13、4 14、3 15、1 16、2
三、解答题:(注意过程评分)
17解:(1)由
得,,
所以: ................6分
(2)因为,,所以,
则
又△为锐角三角形,所以
所以:,所以:; ................12分
18、解:(1)在[160,164)内的频率为,在[164,168)内的频率为,
设合肥市50个数据的中位数为,则,
所以
所以,合肥地区PM2.5浓度的中位数
.....3分
50个数据在172以上(含172)的个数为50×(0.02+0.02+0.01)×4=10. .....5分
(2)∵P(168﹣3×4≤<168+3×4)=0.9974,∴P(≥180)=(1﹣0.9974)=0.0013,
∵0.0013×100 000=130.
∴全国前130名的PM2.5浓度在180以上(含180), ................8分
这50个中在180以上(含180)的有2个
∴随机变量的可能取值为0,1,2,
∴P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=
∴E()= ................12分
19、证明:(1)连结DE,D1E,∵AB∥CD,AB=2CD,E是AB的中点,
∴BE∥CD,BE=CD, ∴四边形BCDE是平行四边形,
∴DE∥BC,又DE平面BCC1B1,
∴DE∥平面BCC1B1, 同理D1D∥平面BCC1B1,又D1D∩DE=D,
∴平面DED1∥平面BCC1B1, ∵EF平面DED1,
∴EF∥平面BCC1B1. ................6分
方法一(2)∵AB=BC=CC1=2CD,∠BCD=∠C1CD=60°,
设CD=1,则BC=2,BD2=3 ∴BD⊥CD. 同理:C1D⊥CD,
∵平面D1C1CD⊥平面ABCD,平面D1C1CD∩平面ABCD=CD,C1D平面D1C1CD,
∴C1D⊥平面ABCD, ∴C1D⊥BC.∴C1D⊥B1C1
在平面ABCD中,过D作DH⊥BC,垂足为H,连结C1H.
∴BC⊥平面C1DH,∵C1H平面C1DH,
∴BC⊥C1H, 所以,B1C1⊥C1H,
∴∠DC1H为平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角.
在Rt△BCD中, C1D=, 在Rt△C1DH,C1H=,∴cos∠DC1H=
∴平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角(锐角)的余弦值为 ................12分
方法二:可以建立空间坐标系解答,(略)
20、解:(1)由题意可知:,设曲线W上任意一点坐标Q(x,y),则:
,又
整理得:,所以曲线W的方程为:. ................5分
(2) 是抛物线的焦点,,则抛物线的方程为.
设直线l的方程为,将直线l的方程代入曲线方程,整理得:,
又因为可得:
又因为B在抛物线上,,整理得:,又,直线l的方程为: ................12分
注:如果设的方程为,计算量较小。
21、解:(1),所以在为增函数,在为减函数
由
当时,恒成立,则f(x)在R上单调递增,所以命题成立
当时,在为减函数,在为增函数
设得得
在为减函数,在为增函数,且,所以
同理,所以,所以函数与也存在相同的增区间
综上命题成立 ................5分
(2)证明:(2)对任意的,都有,
则,
则 所以△=
即,由(1)知 所以有:恒成立
设,则,且
由
所以在上有唯一实数根,且
当时为减函数,当时为增函数
所以,, 所以,
且是正整数,所以,所以的最大值为4 ...............12分
22解:(1)由曲线的极坐标方程,
得:,
所以曲线的直角坐标方程: ................5分
(2)直线的参数方程可设为: 代入圆的方程得:
所以 又因为
则 所以,直线的方程为: ................10分
23、解:(1)
当时,即,解得:;
当时,,即,解得:;
当时,,即,解得;
综上所述,不等式的解集为 ................5分
(2)时,恒成立,即
即:,也即:
所以时恒成立
解得:
所以的取值范围是 ................10分