数学理·江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题+Word版含解析] 21页

全*品*高*考*网， 用后离不了！江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试 数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：集合运算 ‎【方法点睛】‎ ‎1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．‎ ‎2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2.复数满足，则复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，所以对应点位于第四象限，选D.‎ 考点：复数概念 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3.命题“存在”的否定是 （ ）‎ A．不存在 B．对任意的 ‎ ‎ C．对任意的 D．存在 ‎ ‎【答案】B 考点：命题的否定 ‎【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M， p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题. 4.“”是“直线与互相平行”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：直线与互相平行的充要条件为，即或，因此“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件 ，选A. ‎ 考点：充要关系 ‎【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎5.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466-485年间，其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，天共织布尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A 考点：等差数列应用 ‎6.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是 （ ）‎ A． 计算数列前项的和 ‎ B．计算数列前项的和 ‎ C. 计算数列前项的和 ‎ D．计算数列前项的和 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；第六次循环：；结束循环，输出为数列前项的和，选C.‎ 考点：循环结构流程图 ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7.已知实数满足，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】C 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎8.的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向上的投影为 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：为中点，又的外接圆的圆心为，所以，因为，所以，因此向量在向量方向上的投影为，选D.‎ 考点：向量投影 ‎【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：三视图 ‎【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎10.已知点是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点， 为的内心，若成立，则的值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B 考点：双曲线定义 ‎【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.‎ ‎11.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且都是边长为的等边三角形，则三棱锥的体积是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：取BC中点M ，则有,所以三棱锥的体积是，选B.‎ 考点：三棱锥体积 ‎【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数为，且有，则不等式 的解集 （ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】A 考点：利用导数解不等式 ‎【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，‎ 构造，构造，构造等 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则二项式的展开式中的系数为 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，所以，由得的系数为 考点：定积分，二项式定理 ‎【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎14.直线过抛物线的焦点且与相交于两点，且的中点的坐标为，则抛物线的方程为 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由点差法得，而，所以，即抛物线的方程为 考点：抛物线弦中点 ‎15.已知函数等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则在上有偶数个零点的概率是 _________.‎ ‎【答案】‎ 考点：古典概型概率 ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，已知三个点列，其中满足向量与向量共线，且，则_________.（用表示）‎ ‎【答案】‎ 考点：叠加法求通项，等差数列定义 ‎【方法点睛】在利用叠加法求项时，一定要注意使用转化思想.把对应项放缩后成等差数列或等比数列，再进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在放缩时要注意方向以及放缩大小.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调减区间; ‎ ‎（2）已知 中,角、、所对的边分别为、、，其中,若锐角满足,且,求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式将三角函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求单调区间（2）先由以及锐角，求出角，再根据正弦定理将角化为边：，即，最后根据余弦定理求：，即 试题解析：（1）,‎ 由，得的单调递减区间为. ‎ 考点：正余弦定理 ‎【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎18.（本小题满分12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位: 毫克）‎ 规定：当食品中的有害微量元素的含量在时为一等品，在为二等品，以上为劣质品.‎ ‎（1） 用分层抽样的方法在两组数据中各抽取个数据，再分别从这个数据中各选取个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率;‎ ‎（2）每生产一件一等品盈利元，二等品盈利元，劣质品亏损 元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率. 若分别从甲、乙食品中各抽取件, 设这两件食品给该厂带来的盈利为,求随机变量的频率分布和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：（1）从甲中抽取的个数据中，一等品有个，非一等品有个，从乙中抽取个数据中，一等品有个，非一等品有个，设“从甲中抽取个数据中任取个，一等品的个数为” 为事件,则.‎ 设“从乙中抽取个数据中任取个，一等品的个数为” 为事件,则.‎ 甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率为:‎ ‎.‎ ‎（2）由题意，设“从甲中任取一件为一等品” 为事件，则,‎ 设“从甲中任取一件为二等品” 为事件，则,‎ 设“从甲中任取一件为劣质品” 为事件 ，则.‎ 设“从乙中任取一件为一等品” 为事件 ，则,‎ 设“从乙中任取一件为二等品” 为事件 ，则,‎ 设“从乙中任取一件为劣质品” 为事件 ，则. 可取 ‎.,‎ ‎,‎ ‎.‎ 的分布列为 ‎.‎ 考点：分层抽样，分布列与数学期望，古典概型概率 ‎【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎19.（本小题满分12分）在四棱柱中，底面是菱形，且.‎ ‎（1） 求证: 平面平面 ;‎ ‎（2）若,求平面与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ 试题解析：（1）因为,所以和均为正三角形，于是 ‎，设与的交点为，则，又是菱形，所以，而，所以 平面，而平面，故平面平面. ‎ 考点：面面垂直判定定理，线面垂直判定定理，利用空间向量求二面角 ‎【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎20.（本小题满分12分）设椭圆的焦点,过右焦点的直线与 相交于两点，若的周长为短轴长的倍.‎ ‎（1）求的离心率; ‎ ‎（2）设的斜率为，在上是否存在一点,使得？若存在，求出点的坐标; 若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）不存在 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求椭圆离心率，只需建立一个等量关系即可：因为的周长为，所以，注意短轴长为，即可得到（2）存在性问题，以算代证，有解就存在，无解就不存在. 设，，则 ‎，代入椭圆方程为化简得，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得，计算 ，则与矛盾，故不存在 考点：椭圆离心率，直线与椭圆位置关系 ‎ ‎【思路点睛】‎ 解析几何存在性问题，一般解决方法为先假设存在，以算代探，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中解出参数，若有解就存在，否则就存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数为常数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性; ‎ ‎（2）当时，设的两个极值点恰为的零点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.（2）‎ ‎（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为 又，所以 ‎（2）,则,所以的两根 即为方程的两根. 因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,‎ 所以 令,由得 因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.‎ 考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值 ‎【思路点睛】导数与函数的单调性 ‎(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.‎ ‎(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆,直线的极坐标方程分别为.‎ ‎（1） 求与交点的极坐标;‎ ‎（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为为，参数) 求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：（1）圆的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,联立得 得所以与交点的极坐标为.‎ ‎（2）由（1）可得,的直角坐标为,故的直角坐标方程为，由参数方程可得，所以，解得.‎ 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程 ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值 ;‎ ‎（2） 若不等式对任意的实数恒成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先化简不等式，再根据绝对值定义得，最后根据解集关系得，（2）先化简不等式，再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值，根据绝对值三角不等式得 ‎，因此再利用变量分离将不等式转化为对应函数最值：，根据二次函数最值可得，即实数的最小值为4.‎ 考点：绝对值定义，绝对值三角不等式 ‎【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎ ‎