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- 2021-06-21 发布
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北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2018.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2．下列函数中，在区间上单调递增的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
5．实数满足 则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
6．设是非零向量，且不共线．则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等，
则点，的横坐标之和的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH值的定义为，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为
（参考数据：，）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在复平面内，复数对应的点的坐标为____．
10．数列是公比为的等比数列，其前项和为．若，则____；____．
11．在△中，，，△的面积为，则 ____．
12．把件不同的产品摆成一排．若其中的产品与产品都摆在产品的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）
13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的
部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何
体的表面积是____．
14．已知函数 若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值．
16．（本小题满分13分）
已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．
表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
1月1日
7:36
4月9日
5:46
7月9日
4:53
10月8日
6:17
1月21日
7:31
4月28日
5:19
7月27日
5:07
10月26日
6:36
2月10日
7:14
5月16日
4:59
8月14日
5:24
11月13日
6:56
3月2日
6:47
6月3日
4:47
9月2日
5:42
12月1日
7:16
3月22日
6:15
6月22日
4:46
9月20日
5:59
12月20日
7:31
表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
2月1日
7:23
2月11日
7:13
2月21日
6:59
2月3日
7:22
2月13日
7:11
2月23日
6:57
2月5日
7:20
2月15日
7:08
2月25日
6:55
2月7日
7:17
2月17日
7:05
2月27日
6:52
2月9日
7:15
2月19日
7:02
2月28日
6:49
（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；
（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求的分布列和数学期望．
（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）
如图，三棱柱中，平面，，.
过的平面交于点，交于点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：四边形为平行四边形；
（Ⅲ）若，求二面角的大小.
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上恰有个零点．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．
20．（本小题满分13分）
数列：满足：，，或．
对任意，都存在，使得，其中且两两不相等．
（Ⅰ）若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
① ； ② ； ③
（Ⅱ）记．若，证明：；
（Ⅲ）若，求的最小值．
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2018.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A 2．D 3．C 4．D
5．D 6．C 7．B 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．， 11．
12． 13． 14．；
注：第10，14题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
[ 4分]
[ 5分]
， [ 7分]
所以的最小正周期 ． [ 8分]
（Ⅱ）因为 ，
所以 ． [10分]
当 ，即时， [11分]取得最大值为． [13分]
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，
[ 1分]
在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，
所以 ． [ 3分]
（Ⅱ）X可能的取值为． [ 4分]
记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，
则 ，． [ 5分]
； ；
． [ 8分]
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
P
． [10分]
注：学生得到X ~，所以，同样给分．
（Ⅲ）． [13分]
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 平面，所以 ． [ 1分]
因为 三棱柱中，，所以 四边形为菱形，
所以 ． [ 3分]
所以 平面． [ 4分]
（Ⅱ）因为 ，平面，所以 平面． [ 5分]
因为 平面平面，所以 ． [ 6分]
因为 平面平面，
平面平面，平面平面，
所以 ． [ 7分]
所以 四边形为平行四边形． [ 8分]
（Ⅲ）在平面内，过作．
因为 平面，
如图建立空间直角坐标系． [ 9分]
由题意得，，，，，．
因为 ，所以 ，
所以 ．
由（Ⅰ）得平面的法向量为．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，，所以 ． [11分]
所以 ． [13分]
由图知 二面角的平面角是锐角，
所以 二面角的大小为． [14分]
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以 ． [ 2分]
因为 ，， [ 4分]
所以曲线在点处的切线方程为． [ 5分]
（Ⅱ）． [ 6分]
由 ，得 ． [ 7分]
因为 ，所以． [ 8分]
当 时， 由 ， 得 ．
所以 存在唯一的， 使得 ． [ 9分]
与在区间上的情况如下：
↗
极大值
↘
所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减． [11分]
因为 ， [12分]
且 ，
所以 在区间上恰有2个零点． [13分]
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意得 ，， 所以 ． [ 2分]
因为 ， [ 3分]
所以 ， [ 4分]
所以 椭圆的方程为 ． [ 5分]
（Ⅱ）若四边形是平行四边形，
则 ，且 . [ 6分]
所以 直线的方程为，
所以 ，． [ 7分]
设，．
由 得， [ 8分]
由，得 ．
且，． [ 9分]
所以 .
． [10分]
因为 ， 所以 ．
整理得 ， [12分]
解得 ，或 ． [13分]
经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．
所以 ，或 ． [14分]
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）②③． [ 3分]
注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．
（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．
① 假设，则有（对任意），
与已知矛盾，所以 ．
同理可证：． [ 5分]
② 假设，则存在唯一的，使得．
那么，对，有 （两两不相等），
与已知矛盾，所以． [ 7分]
综上：，
所以 ． [ 8分]
（Ⅲ）设出现频数依次为．
同（Ⅱ）的证明，可得，，则．
取， ，得到的数列为：
． [10分]
下面证明满足题目要求．对，不妨令，
① 如果或，由于，所以符合条件；
② 如果或，由于，，
所以也成立；
③ 如果，则可选取；同样的，如果，
则可选取，使得，且两两不相等；
④ 如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．
综上，对任意，总存在，使得，其中且两
两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为． [13分]
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