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  • 2021-06-21 发布

2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学(文)试题

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‎2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛 数 学(文)试 题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.“”是“”的( )‎ A. 充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知命题且,命题.下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:‎ 若线性相关,线性回归方程为,估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为( )‎ A. 万盒 B.万盒 C. 万盒 D.万盒 ‎7.将函数的图像向右移个单位后,所得图像关于轴对称,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图是某四棱锥的三视图,其中正视图是边长为2的正方形,侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数的图像大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设函数,,若对任意实数,恒成立,则实数的取值范围为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数在上恰有两个零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 已知平面向量,,且,则实数 .‎ ‎14.执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的 .‎ ‎15.已知点的坐标为,点满足,则的最小值为 .‎ ‎16. 如果一个正四面体与正方体的体积比是,则其表面积(各面面积之和)之比 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知为数列的前项和,且满足.‎ ‎(1)证明为等比数列;‎ ‎(2)设数列的前项和为,求.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎(1)求函数的最大值和最小值;‎ ‎(2)为的内角平分线,已知,求角的大小. ‎ ‎19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议,双方合作的客改货项目落户广州空港经济区.‎ 根据协议,双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作.现组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次知识竞赛,将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.‎ ‎(1)试求受奖励的分数线;‎ ‎(2)从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务,试求2人成绩都在90分以上(含90分)的概率.‎ ‎20. 如图,在四棱锥中,,,是等边三角形,,.‎ ‎(Ⅰ)求的长度;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎21. 已知椭圆与直线都经过点.直线与平行,且与椭圆交于两点,直线与轴分别交于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)证明:为等腰三角形.‎ ‎22.已知,‎ ‎(Ⅰ)若有两个零点,求实数的范围;‎ ‎(Ⅱ)若有两个极值点,求实数的范围;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若的两个极值点为,求证:.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12:BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(Ⅰ)当时,时原式转化为:,‎ 即,所以,‎ 所以为首项为4,公比为2的等比数列. ,‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)由(1)知:‎ ‎=.‎ ‎18.解:‎ 在上单增,上单减,;‎ ‎(2)中,中,,‎ ‎∵,,,‎ ‎,‎ 中,,‎ 中,,‎ ‎,∴.‎ ‎19. 解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,竞赛成绩在分的人数为,‎ 竞赛成绩在的人数为,‎ 故受奖励分数线在之间,‎ 设受奖励分数线为,则,‎ 解得,故受奖励分数线为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,受奖励的20人中,分数在的人数为8,分数在的人数为12,‎ 利用分层抽样,可知分数在的抽取2人,分数在的抽取3人,‎ 设分数在的2人分别为,分数在的3人分别为,‎ 所有的可能情况有,,,,,,,,,,满足条件的情况有,,,所求的概率为.‎ ‎ 20.解:(Ⅰ)取中点,连,‎ 是等边三角形,, ‎ 又 平面,平面,,‎ ‎ ∴‎ ‎(Ⅱ)平面 ,平面 ‎∴平面⊥平面.‎ 作交于,‎ 则平面,交于,直线与平面所成的角.‎ 由题意得, 又 ‎,‎ ‎ ,‎ ‎.‎ ‎21.解:(Ⅰ)椭圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)设直线为:‎ 联立: ,得, ‎ 于是. ‎ 设直线的斜率为,要证为等腰三角形,只需证,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以为等腰三角形 .‎ ‎22.解:方法一:(Ⅰ),‎ 有两个零点,有两个零点,‎ ‎,‎ 时在上单调,最多有一个零点,不合题意;‎ 在上单增,在上单减,‎ ‎ , ‎ 又时,‎ ‎,‎ 必有两个零点,‎ ‎ .‎ ‎(Ⅱ)有两个改变符号的零点,‎ 设,则,‎ 时,恒成立,在上单调,最多有一个零点,不合题意;‎ ‎,由得:,‎ 在上单增,在上单减,‎ ‎,即 .‎ 又,‎ 在各有一个零点,‎ ‎ . ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ),结合,知,‎ ‎,‎ 设, ‎ 在上单减,‎ ‎ .‎ ‎ 方法二:分离参数法 ‎(Ⅰ),两图象有两交点,‎ 令,‎ 当单增,‎ 当单减,‎ 结合图像,.‎ ‎(Ⅱ)有两个改变符号的零点,‎ 等价于对应的两函数的图像有两交点.‎ 令,当单增,‎ 当单减,,‎ 结合图象, . ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ),下同方法一 ‎. ‎