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- 2021-06-21 发布
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2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛
数 学(文)试 题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
2. 若,则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知命题且,命题.下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
6.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:
若线性相关,线性回归方程为,估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为( )
A. 万盒 B.万盒 C. 万盒 D.万盒
7.将函数的图像向右移个单位后,所得图像关于轴对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图是某四棱锥的三视图,其中正视图是边长为2的正方形,侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
9.函数的图像大致为( )
A. B. C. D.
10.设函数,,若对任意实数,恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则( )
A. B. C. D.
12.已知函数在上恰有两个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知平面向量,,且,则实数 .
14.执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的 .
15.已知点的坐标为,点满足,则的最小值为 .
16. 如果一个正四面体与正方体的体积比是,则其表面积(各面面积之和)之比 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知为数列的前项和,且满足.
(1)证明为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求.
18. 已知函数.
(1)求函数的最大值和最小值;
(2)为的内角平分线,已知,求角的大小.
19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议,双方合作的客改货项目落户广州空港经济区.
根据协议,双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作.现组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次知识竞赛,将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.
(1)试求受奖励的分数线;
(2)从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务,试求2人成绩都在90分以上(含90分)的概率.
20. 如图,在四棱锥中,,,是等边三角形,,.
(Ⅰ)求的长度;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.
21. 已知椭圆与直线都经过点.直线与平行,且与椭圆交于两点,直线与轴分别交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:为等腰三角形.
22.已知,
(Ⅰ)若有两个零点,求实数的范围;
(Ⅱ)若有两个极值点,求实数的范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若的两个极值点为,求证:.
试卷答案
一、选择题
1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12:BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)当时,时原式转化为:,
即,所以,
所以为首项为4,公比为2的等比数列. ,
所以.
(Ⅱ)由(1)知:
=.
18.解:
在上单增,上单减,;
(2)中,中,,
∵,,,
,
中,,
中,,
,∴.
19. 解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,竞赛成绩在分的人数为,
竞赛成绩在的人数为,
故受奖励分数线在之间,
设受奖励分数线为,则,
解得,故受奖励分数线为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,受奖励的20人中,分数在的人数为8,分数在的人数为12,
利用分层抽样,可知分数在的抽取2人,分数在的抽取3人,
设分数在的2人分别为,分数在的3人分别为,
所有的可能情况有,,,,,,,,,,满足条件的情况有,,,所求的概率为.
20.解:(Ⅰ)取中点,连,
是等边三角形,,
又 平面,平面,,
∴
(Ⅱ)平面 ,平面
∴平面⊥平面.
作交于,
则平面,交于,直线与平面所成的角.
由题意得, 又
,
,
.
21.解:(Ⅰ)椭圆的方程为.
(Ⅱ)设直线为:
联立: ,得,
于是.
设直线的斜率为,要证为等腰三角形,只需证,
,
.
所以为等腰三角形 .
22.解:方法一:(Ⅰ),
有两个零点,有两个零点,
,
时在上单调,最多有一个零点,不合题意;
在上单增,在上单减,
,
又时,
,
必有两个零点,
.
(Ⅱ)有两个改变符号的零点,
设,则,
时,恒成立,在上单调,最多有一个零点,不合题意;
,由得:,
在上单增,在上单减,
,即 .
又,
在各有一个零点,
.
(Ⅲ)由(Ⅱ),结合,知,
,
设,
在上单减,
.
方法二:分离参数法
(Ⅰ),两图象有两交点,
令,
当单增,
当单减,
结合图像,.
(Ⅱ)有两个改变符号的零点,
等价于对应的两函数的图像有两交点.
令,当单增,
当单减,,
结合图象, .
(Ⅲ)由(Ⅱ),下同方法一
.