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- 2021-06-21 发布
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4-2-3同步检测
一、选择题
1.一辆卡车宽1.6m,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A.1.4m B.3.5m
C.3.6m D.2.0m
2.将直线x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后与圆x2+(y-1)2=r2(r>0)相切,则r的值是( )
A. B.
C. D.1
3.与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A、B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于( )
A.2 B.2
C.4 D.4
5.圆(x-4)2+(y-4)2=4与直线y=kx的交点为P、Q,原点为O,则|OP|·|OQ|的值为( )
A.2 B.28
C.32 D.由k确定
6.点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点,则四边形PAOB(O
为坐标原点)的面积的最小值等于( )
A.24 B.16
C.8 D.4
7.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是( )
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.以上都不对
8.(2008年山东高考题)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.10 B.20
C.30 D.40
9.方程=kx+2有唯一解,则实数k的范围是( )
A.k=±
B.k∈(-2,2)
C.k<-2或k>2
D.k<-2或k>2或k=±3
10.(拔高题)台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险地区,城市B在A的正东40 km外,B城市处于危险区内的时间为( )
A.0.5 h B.1 h
C.1.5 h D.2 h
二、填空题
11.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0.则x-y的最大值和最小值分别是________和________.
的最大值和最小值分别是________和________.
x2+y2的最大值和最小值分别是______和______.
12.如图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为________m.
13.已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于E,F两点,圆心为点C,则△CEF的面积等于________.
14.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16相切于点M,则|PM|的最小值________.
三、解答题
15.街头有一片绿地,绿地如图所示(单位:m),其中ABC为圆弧,求此绿地面积.
16.某圆拱桥的示意图如下图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长.(精确到0.01 m)
[分析] 建系→求点的坐标→求圆的方程→求A2P2的长
17.如图所示,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,求该圆运动的时间.
18.如图,直角△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P、Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
详解答案
1[答案] B
[解析] 圆半径OA=3.6,卡车宽1.6,∴AB=0.8,
∴弦心距OB=≈3.5.
2[答案] B
[解析] 将x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后,所得直线的方程为x-y=1.又圆的圆心坐标为(0,1),
∴相切时有r==,∴r的值为.
3[答案] C
[解析] x2+y2-4x+3=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),
∵(2,0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1,1),
∴x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为(1,1).
∵x2+y2-ax-2y+1=0,即为(x-)2+(y-1)2=,圆心为(,1),∴=1,即a=2.
4[答案] A
[解析] ∵圆心到直线的距离d==,
∴|AB|=2=4,∴S△ABC=×4×=2..
5[答案] B
[解析] 由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方.
6[答案] C
[解析] ∵四边形PAOB的面积S=2×|PA|×|OA|=2=2,∴当直线OP垂直直线2x+y+10=0时,其面积S最小.
7[答案] B
[解析] 由<1,∴a2+b2>1.
8[答案] B
[解析] 圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×10×4=20.
9[答案] D
[解析] 由题意知,直线y=kx+2与半圆x2+y2=1(y≥0只有一个交点.结合图形易得k<-2或k>2或k=±.
10[答案] B
[解析] 建系后写出直线和圆的方程,求得弦长为20千米,故处于危险区内的时间为=1(h).
11[答案] 2+,2-;1,-1;7+4,7-4
[解析] (1)设x-y=b则y=x-b与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,
即≤,∴2-≤b≤2+
故x-y最大值为2+,最小值为2-
(2)设=k,则y=kx与x2+y2-4x+1=0
有公共点,即≤
∴≤k≤,故最大值为,最小值为-
(3)圆心(2,0)到原点距离为2,半径r=
故(2-)2≤x2+y2≤(2+)2
由此x2+y2最大值为7+4,最小值为7-4.
12[答案] 2
[解析] 如下图所示,以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),B(-6,-2).
设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2. ①
将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10.
∴圆的方程为x2+(y+10)2=100. ②
当水面下降1 m后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A′的坐标(x0,-3)代入方程②,求得x0=.所以,水面下降1 m后,水面宽为2x0=2.
13[答案] 2
[解析] ∵圆心C(2,-3)到直线的距离为d==,又R=3,∴|EF|=2=4.
∴S△CEF=|EF|·d=2.
14[答案] 4
[解析] 曲线C:(x-5)2+y2=16是圆心为C(5,0),半径为4的圆,连接CP,CM,则在△MPC中,CM⊥PM,则|PM|==,当|PM|取最小值时,|CP|取最小值,又点P在直线l1
上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,即|CP|的最小值为d==4,则|PM|的最小值为=4.
15[解析] 如图所示建立坐标系,各点坐标分别为A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以可得过A、B、C三点的圆弧方程为(x-3)2+(y-3)2=25(0≤x≤7,y>0).
|AC|==5,设圆弧的圆心为E,则∠AEC=90°.
故所求的面积为S梯形AODC+S弓形ABC=S梯形AODC+(S扇形ACE-S△ACE)=+π×52-×52=33+m2.
16[解析] 如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).
设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为A,B,P在此圆上,故有
解得
故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式,解得
y=-24+12.
答:支柱A2P2的长约为12-24.
[点评] 在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利用坐标法解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:①若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;②常选特殊点作为直角坐标系的原点;尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.
17[解析] 设运动的时间为tt,则tt后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).
∵圆C与直线l:y=x-4,即4x-3y-12=0相切,∴=1.5.
解得t=6或16.
即该圆运动的时间为6t或16t.
18[证明] 如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.
|AP|2+|AQ|2+|PQ|2
=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2
=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).