数学（文）卷·2017届江西省临川一中高三4月模拟检测（2017 11页

江西省临川一中2017届高三4月模拟检测 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 ，（为虚数单位），则（ ）‎ A． 4 B． -4 C． D．‎ ‎2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（ ）‎ A． 丁酉年 B． 戊未年 C．乙未年 D．丁未年 ‎3.点在直线上，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． 30° B．45° C． 60° D． 120°‎ ‎4.定义函数，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为 （ ）‎ A．335 B．336 C. 337 D．338‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点，则抛物线的焦点是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.点在圆上运动，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9. 已知为单位圆上不重合的两定点，为此单位圆上的动点，若点满足，则点的轨迹为（ ）‎ A． 椭圆 B．双曲线 C. 抛物线 D．圆 ‎10.点分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ）‎ ‎①函数是周期函数；‎ ‎②函数既有最大值又有最小值；‎ ‎③函数的定义域为，且其图象有对称轴；‎ ‎④对于任意的，（是函数的导函数）．‎ A． ②③ B． ①③ C. ②④ D．①②③‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.我国古代“伏羲八封图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律，处应分别填写 ．‎ 八卦 ‎…‎ ‎…‎ 二进制 ‎000‎ ‎001‎ ‎010‎ ‎011‎ ‎…‎ ‎…‎ 十进制 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎14.已知，将其绕原点逆时针旋转120°后又伸长到原来的2倍得向量，则 ．‎ ‎15.点是正方体的体对角线上靠近点 的四等分点，在正方体内随机取一点，则点满足的概率为 ．‎ ‎16.设表示不超过实数的最大整数，例如：，则点集所覆盖的面积为 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）在锐角中，内角所对的边分别是，且，求的最大面积.‎ ‎18.如图，已知三棱锥中，为的中点，为的中点，且为正三角形.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎ 19.根据环境保护部《环境空气质量指数（）技术规定》，空气质量指数（）在201—300之间为重度污染；在301—‎ ‎500之间为严重污染.依据空气质量预报，同时综合考虑空气污染程度和持续时间，将空气重污染分4个预警级别，由轻到重依次为预警四级、预警三级、预警二级、预警一级，分别用蓝、黄、橙、红颜色标示，预警一级（红色）为最高级别.（一）预警四级（蓝色）：预测未来1天出现重度污染；（二）预警三级（黄色）：预测未来1天出现严重污染或持续3天出现重度污染；（三）预警二级（橙色）；预测未来持续3天交替出现重度污染或严重污染；（四）预警一级（红色）；预测未来持续3天出现严重污染.‎ 某城市空气质量监测部门对近300天空气中浓度进行统计，得出这300天浓度的频率分布直方图如图，将浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的浓度相互独立.‎ ‎（1）求当地监测部门发布颜色预警的概率；‎ ‎（2）据当地监测站数据显示未来4天将出现3天严重污染，求监测部门发布红色预警的概率．‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆，是上一点，，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的斜率．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，不等式成立．‎ ‎（1）求满足条件的实数的集合；‎ ‎（2）若，不等式恒成立，求的最小值．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CACCA 6-10: BBDDA 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 110，6 14. 15. 16. 12‎ 三、解答题 ‎17.解析：（1）‎ ‎，‎ 令，‎ 得.‎ ‎∴的单调递增区间为.‎ ‎（2）由，得，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴，当且仅当时取“=”.‎ ‎∴.‎ ‎18. 证明：（1）∵分别为的中点，∴，又平面 平面，∴平面.‎ ‎（2）∵为的中点，为正三角形，∴.‎ 由（1）知，∴.‎ 又，且，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ 又，且，‎ ‎∴平面.‎ 而平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎19. （1）根据频率分布直方图，可知出现空气重污染的频率是，所以当地监测部门发布颜色预警的概率是0.2.‎ ‎（2）记严重污染为，其他情况为，未来4天中出现3天严重污染的所有情况有，共4种，发布红色预警所包含的基本事件为，共2种，所以监测部门发布红色预警的概率.‎ ‎20. 解析：（1）由已知得，且，‎ 在中，由余弦定理得，解得.‎ 则，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意可得直线的斜率存在，‎ 设直线的方程为，即，‎ 代入椭圆方程，整理得，‎ 设，则.‎ 设，由得 ‎（考虑线段在轴上的射影即可），‎ 所以，‎ 于是，‎ 整理得，（）‎ 又，代入（）式得，‎ 所以点总在直线上.‎ ‎21. 解析（1）函数的定义域为，，‎ 要使在区间上单调递增，只需，即 在上恒成立即可，‎ 易知在上单调递增，所以只需即可，‎ 易知当时，取最小值，，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎（2）不等式即，‎ 令，‎ 则，在上单调递增，‎ 而，‎ ‎∴存在实数，使得，‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增，∴.‎ ‎，画出函数和的大致图象如下，‎ 的图象是过定点的直线，‎ 由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，‎ 而，∴．‎ ‎∵，∴．‎ 于是实数的取值范围是．‎ ‎22.解析：（1）相交，理由：因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，即，因为直线过点，且该点到圆心的距离为，所以直线与曲线相交．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，，则直线的斜率必存在，设其方程为，即，则圆心到直线的距离，又因为，所以，解得，所以直线的斜率为．‎ ‎23.解析：（1）令，‎ 则，则，‎ 由于，不等式成立，‎ 因此．‎ ‎（2）当时，不等式恒成立等价于恒成立，‎ 由题意知，‎ 根据基本不等式得，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当时取等号，‎ 再根据基本不等式得，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值为6．‎