广西壮族自治区田阳高中2018-2019学年高二12月月考数学（文）试题 9页

2018 至 2019 学年度上学期 12 月份月考高二文科数学试题 命题人：李春秀 审题人：黄青丽 谭光浪 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的． 1． 抛物线 的焦点坐标是(　 　) A． (0，1) B． (1，0) C． (1/16，0) D． (0，1/16) 2. 某校高中生共有 900 人，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级 400 人，现采用分层抽样抽取一个容量为 45 的样本，那么高一、高二、高三各年级 抽取人数分别为（ ） A． 15,5,2 B． 15,15,15 C． 10,5,30 D． 15，10，20 3． 153 和 119 的最大公约数是（ ） A． 153 B． 119 C． 34 D． 17 4. 已知五个数据 3,5,7,4,6，则该样本的标准差为（ ） A． B． C． 1 D． 2 5. 下列有关命题的说法正确的是 A． 若"p∧q"为假命题，则 p,q 均为假命题 B． "x=-1"是 的必要不充分条件 C． 命题"若 x>1,则 "的逆否命题为真命题 D． 命题"∃ ∈R,使得 "的否定是："∃x∈R,均有 6. 对于原命题：“已知 a、b、c∈R，若 a>b ，则 ”，以及它的逆命题、否 命题、逆否命题，在这 4 个命题中，真命题的个数为（ ） A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 4 个 7. 如图所示，输出的 n 为（　　 ） A． 10 B． 11 C． 12 D． 13 24xy = 2 3 "0652 =−− xx“ 11 < x 0x 010 2 0 <++ xx "012 ≥++ xx 22 bcac > 8．如图，椭圆 的上顶点、左顶点、左焦点分别为 B、A、 F，中心为 O，其离心率为，则 A．1:1 B．1:2 C． D． 9. 若双曲线 的一条渐近线为 x-2y=0，则实数 m=（ ） A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 10. 曲线 在点处的切线方程是（ ） A．y=ex-2 B．y=2x-e C．y=2x+e D．y=ex+2 11. 本周星期日下午 1 点至 6 点学校图书馆照常开放,甲、乙两人计划前去自习, 其中甲连续自习 2 小时,乙连续自习 3 小时.假设这两人各自随机到达图书馆,则 下午 5 点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是( ) A． B． C． D． 12. 在直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 C：（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、 右顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 PB 交 y 轴于点 E， 连接 AE 交 PQ 于点 M，若 M 是线段 PF 的中点，则椭圆 C 的离心率为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 若命题“，”是真命题，则实数 m 的取值范围是______． 14. 已知函数 f (x)＝ln(x3－3x)的单调递减区间为______． 15. 已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数 ， 函 数 在 [1 ， e] 的 最 小 值 为 __________． 16. 若，F 为抛物线 的焦点，p 为抛物线上任意一点，则 的 最小值为_______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 60 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． )0,0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 12 2 =− ym x 21 xey = 6 1 3 1 xexy ln−= xy 22 = PAPF + 17.(本小题满分 10 分) 已知 ； q: , 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 18.(本小题满分 12 分) 2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新 时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了 40 人，将他们的年龄分成 7 段：[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)， [60, 70)，[70, 80]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）试求这 40 人年龄的平均数、中位数的估计值； （2）（i）若从样本中年龄在[50, 70)的居民中任取 2 人赠送健身卡，求这 2 人中 至少有 1 人年龄不低于 60 岁的概率； （ii）已知该小区年龄在[10, 80]内的总人数为 2000，若 18 岁以上（含 18 岁） 为成年人，试估计该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数． 19.(本小题满分 12 分) 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有极值，对任意的，当，存在使，试比较与的大小. 20.(本题满分 12 分） 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明有且只有三个零点. : 2 3p x− ≤ ≤ 2 22 1 0( 0)x x m m− + − ≤ > p q m 21.(本题满分 12 分）己知，分别为椭圆 C:的左、右焦点，点在椭圆 C 上． （1）求的最小值； （2）已知直线 l：与椭圆 C 交于两点 A、B，过点且平行于直线 l 的直线交椭圆 C 于另一点 Q，问：四边形 PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线 l 的方 程；若不能，请说明理由． 22.(本题满分 12 分） 已知椭圆 C: 的离心率为，其右焦点到 直线的距离为. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 过点的直线 l 交椭圆 C 于两点．求证：以 AB 为直径的圆过定点． 2018 至 2019 学年度上学期 12 月份月考 高二文科数学答案 一、选择题：1-5：DDDAC 6-10：CDABB 11-12： BC 二、填空题：13： [-1,1] 14: (-1,0) 15： e 16:3.5 三 、解答题： 17 题： 解：p： q: x2－2x+1－m2 ≤0 (m>0) 因为 是 的充分不必要条件，且 ，,则 )1(12 2 2 2 ≥>=+ bab y a x m 的取值范围是 ; 18 题：解：（1）平均数． 前三组的频率之和为 0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第 3 组，设中位数为 x， 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得 x＝35，即中位数为 35． （2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有 40×0.15＝6 人，其中年龄在[50， 60）的有 4 人，设为 a，b，c，d，年龄在[60，70）的有 2 人，设为 x，y． 则从中任选 2 人共有如下 15 个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x）， （a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d， x），（d，y），（x，y）． 至少有 1 人年龄不低于 60 岁的共有如下 9 个基本事件： （a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x， y）． 记“这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁”为事件 A， 故所求概率． （ⅱ）样本中年龄在 18 岁以上的居民所占频率为 1－（18－10）×0.015＝0.88， 故可以估计，该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数约为 2000×0.88＝1760． 19 题：解：．（1） 的定义域为 ， 当时，，单调递增. 当时，,单调递减. (2) 由（1）当时，存在极值. 由题设得 . 又 ， 设 .则 . 令 ，则 所以在上是增函数，所以 又，所以， 因此 ，即 20 题：解： （1）的定义域为， ①时，，，在单调递减； ②时，令，即， （i）时，，此时，在上单调递增； （ii），，令，则， 时，，时， ，在和上单调递增，在 单调递减. 综上，时，在上单调递减；时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在 和上单调递增. （2），， 由（1）可知在和上单调递增，在单调递减， 又，且，在上有唯一零点. 又， 在上有唯一零点； 又，，在有唯一零点 综上，当时，有且只有三个零点. 21 题：解： （1）由题意可知，，， ，， ， 最小值 1． 2)已知 由直线与椭圆联立得 ，， 由韦达定理可知：，． 由弦长公式可知丨 AB 丨， ，， 直线 PQ 的方程为． 将 PQ 的方程代入椭圆方程可知：， ， ， 丨 PQ 丨丨丨， 若四边形 PABQ 成为平行四边形，则丨 AB 丨丨 PQ 丨， 丨丨，解得． 故符合条件的直线 l(1) 由题意，e＝ ＝ ，e2＝ ＝ ， 所以 a＝ b，c＝b. 又 ＝ ，a>b≥1，所以 b＝1，a2＝2， 故椭圆 C 的方程为. (2) 当 AB⊥x 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1. 当 AB⊥y 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2＋(y＋ )2＝ . 由 可得 由此可知，若以 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为 Q(0，1)． 下证 Q(0，1)符合题意． 设直线 l 的斜率存在，且不为 0，则方程为 y＝kx－ ，代入 ＋y2＝1 并整理得(1 ＋2k2)x2－ kx－ ＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ， 所以 · ＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1) ＝x1x2＋(kx1－ )(kx2－ ) ＝(1＋k2)x1x2－ k(x1＋x2)＋ ＝(1＋k2) － k· ＋ ＝ ＝0， 故 ⊥ ，即 Q(0，1)在以 AB 为直径的圆上． 综上，以 AB 为直径的圆恒过定点(0，1)． 的方程为，即． 22 题： 解：(1) 由题意，e＝ ＝ ，e2＝ ＝ ， 所以 a＝ b，c＝b. 又 ＝ ，a>b≥1，所以 b＝1，a2＝2， 故椭圆 C 的方程为. (2) 当 AB⊥x 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1. 当 AB⊥y 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2＋(y＋ )2＝ . 由 可得 由此可知，若以 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为 Q(0，1)． 下证 Q(0， 1)符合题意． 设直线 l 的斜率存在，且不为 0，则方程为 y＝kx－ ，代入 ＋y2＝1 并整理得(1 ＋2k2)x2－ kx－ ＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ， 所以 · ＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1) ＝x1x2＋(kx1－ )(kx2－ ) ＝(1＋k2)x1x2－ k(x1＋x2)＋ ＝(1＋k2) － k· ＋ ＝ ＝0， 故 ⊥ ，即 Q(0，1)在以 AB 为直径的圆上． 综上，以 AB 为直径的圆恒过定点(0，1)．