天津市红桥区2020届高三高考二模数学试题 15页

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.‎ 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.‎ 球的体积公式，其中表示球的半径.‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎2.本卷共9题，每小题5分，共45分.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到集合，再求交集得到答案.‎ ‎【详解】，，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，解不等式，属于简单题.‎ ‎2.设为等比数列的前项和，，则公比（ ）‎ A. B. C. 1或 D. -1或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，由，即，所以，解得或，故选C．‎ 考点：等比数列的通项公式的应用．‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数单调性得到，，，得到答案.‎ ‎【详解】，，，‎ 故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ ‎4.设，，则是的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解不等式，根据解集的范围大小得到答案.‎ ‎【详解】，则，，则，故是的充分而不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.‎ ‎5.若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：：∵圆 ‎∴圆心为：（a，0），半径为：2‎ 圆心到直线的距离为：‎ ‎∵‎ 解得a=4，或a=0‎ 考点：直线与圆相交的性质 ‎6.已知正方体的体积是，则这个正方体的外接球的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.‎ ‎【详解】正方体的体积为，则正方体棱长，正方体的外接球半径为体对角线的一半，‎ 即，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.‎ ‎7.将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，所得函数的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式将函数化为，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，‎ 可得，此函数图像关于轴对称，‎ 则，解得，‎ 因为，则当时， 取得最小值.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合抛物线的性质可得，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出，再利用双曲线的性质即可得解.‎ ‎【详解】抛物线，该抛物线的准线为，‎ 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，‎ 点在直线上，即，‎ 抛物线的焦点为，‎ 又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，双曲线的左顶点为，，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 由点在双曲线其中一条渐近线上可得即，‎ 双曲线的焦距.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.‎ ‎9.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意画出函数的图象，转化条件为直线与函数的图象有三个交点，数形结合即可得解.‎ ‎【详解】当时，，其图象为开口向下，对称轴为的抛物线的一部分，且；‎ 当时，，其图像为函数在y轴右侧图象向下平移1个单位形成；‎ 画出函数的图象，如图：‎ 因为函数有3个零点，‎ 所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，‎ 数形结合可知，，‎ 所以实数的取值范围为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点、方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系，考查了数形结合与转化化归思想，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.‎ ‎10.若为虚数单位，则复数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合复数的乘法、除法运算法则直接计算即可得解.‎ 详解】由题意.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎11.某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有_________.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设三个社团共有x人，由题意结合分层抽样的定义和方法列方程即可得解.‎ ‎【详解】设三个社团共有x人，‎ 由分层抽样的定义和方法可得，解得，‎ 所以这三个社团共有人.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样的应用，利用分层抽样每个个体被抽到的概率相等是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎12.已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是_________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式系数和为得到，再利用二项式定理得到答案.‎ ‎【详解】二项式的展开式的二项式系数之和为，故.‎ 展开式的通项为：，‎ 取得到项的系数是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎13.已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则 ‎_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项和等比中项计算得到，，代入式子化简得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，，故，，故.‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差中项，等比中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为 ‎，所以切线方程为，即.‎ ‎15.已知是单位向量，．若向量满足________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件求得满足的关系式，再根据的几何意义求解．‎ ‎【详解】由，得．‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，则．‎ 设，‎ 由，可得，‎ 所以点C在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上．‎ 所以．‎ ‎【点睛】由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．‎ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.在中，内角所对的边分别是，已知，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用余弦定理计算得到答案.‎ ‎（2）根据三角恒等变换计算，，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据余弦定理：，故.‎ ‎（2），故，，，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了计算恒等变换，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立.‎ ‎（1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；‎ ‎（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1） （2）分布列见详解；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.‎ ‎（2）的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.‎ ‎【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件，‎ ‎.‎ 方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件，.‎ ‎“至少有一人命中目标”为事件，.‎ ‎（2）的取值情况可能为0，1，2，3，‎ ‎.‎ 的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 以.‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.‎ ‎18.四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角为，‎ ‎①求线段的长；‎ ‎②求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）①2②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出，，再利用线面垂直的判定定理即可证出.‎ ‎（2）①求出平面的一个法向量，利用，即可求线段的长；②求出平面的一个法向量，再根据为平面 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.‎ ‎【详解】（1）依题意，以点原点，为轴，为轴，为轴 ，‎ 建立空间直角坐标系（如图），‎ 可得，，，，‎ ‎，，.‎ ‎，，，‎ ‎，，.‎ 即，，，.‎ 所以平面.‎ ‎（2）①设为平面的法向量，‎ 则，即，‎ 不妨令，可得为平面的一个法向量，‎ 于是有，.‎ 所以，得或（舍）.‎ ‎，，线段的长为；.‎ ‎②设为平面的法向量，，‎ 则即，‎ 不妨令，可得为平面的一个法向量，.‎ 又为平面的一个法向量，.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，椭圆经过点P（1.），离心率e=，直线l的方程为x=4.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在 ‎【解析】‎ ‎①②‎ ‎②代入①得 考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.‎ ‎20.设，函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和是函数的两个不同的零点，求的值并证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）①当时，函数的递增区间为，无极值，②当时，函数的递增区间为，递减区间是，函数的极大值为；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分别令及分情况讨论；（Ⅱ）由已知得，由（Ⅰ）函数在递减及，，可知函数在区间有唯一零点，由此得证.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得，，‎ ‎①若，则，是区间上的增函数，无极值；‎ ‎②若，令，得，‎ 在区间上，，函数是增函数，‎ 在区间上，，函数是减函数，‎ 所以在区间上，的极大值为．‎ 综上所述，①当时，函数的递增区间为，无极值；②当时，函数的递增区间为，递减区间是，函数的极大值为．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，解得，所以，‎ 又，，所以，‎ 由（Ⅰ）函数在递减，故函数在区间有唯一零点，因此．‎ 考点：导数的应用．‎ ‎【方法点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．‎