【推荐】专题03 直线与方程（导学案）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（理）黄金讲练x 8页

一、学习目标 ‎ 1.掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及 ‎ 直线方程知识的灵活运用；掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用； ‎ ‎2.充分理解解析思想（坐标法），加强数形结合思想的培养和应用意识的培养；‎ ‎3.积极主动，认真研究，以极大的热情投入学习中去。‎ 二、知识梳理 ‎（1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。‎ ‎（2）直线的斜率 ‎①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。‎ 当时，； 当时，； 当时，不存在。‎ ‎②过两点的直线的斜率公式： ‎ 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；‎ ‎(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；‎ ‎(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。‎ ‎（3）直线方程 ‎①点斜式： 直线斜率k，且过点 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。‎ 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。‎ ‎②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ‎③两点式：（）直线两点，‎ ‎④截矩式：‎ 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。‎ ‎⑤一般式：（A，B不全为0）‎ 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：‎ 平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； ‎ ‎（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 ‎ ① 平行直线系 平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）‎ ‎ ② 过定点的直线系 ‎（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；‎ ‎（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为 ‎（为参数），其中直线不在直线系中。‎ ‎（6）两直线平行与垂直 当，时，‎ ‎；‎ 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。‎ ‎（7）两条直线的交点 ‎ 相交 交点坐标即方程组的一组解。‎ 方程组无解 ； 方程组有无数解与重合 ‎（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，‎ 则 ‎ ‎（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离 ‎（10）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。‎ 三、典型例题 ‎ 例1.过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．‎ ‎【解析】由题意知，直线l的斜率存在．设直线为y＋4＝k(x＋5)，交x轴于点，交y轴于点(0,5k－4)，S＝××|5k－4|＝5，得25k2－30k＋16＝0(无实根)，或25k2－50k＋16＝0，‎ 解得k＝，或k＝，所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0.‎ ‎【方法规律】求直线的方程，可先设方程，然后根据条件求系数。‎ 变式练习1．过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．‎ ‎【答案】x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.‎ 例2.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：‎ ‎(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2.‎ ‎【解析】法一　当m＝0或2时，两直线既不平行，也不垂直；‎ 当m≠0且m≠2时，直线l1，l2的斜率分别为：－，.‎ ‎(1)若l1⊥l2，则－·＝－1，解得m＝.‎ ‎(2)若l1∥l2，则由－＝，得m＝－1或m＝3.‎ 又当m＝3时，l1与l2重合，故m＝3舍去．故l1∥l2时，m＝－1.‎ 法二　(1)∵l1⊥l2，∴m－2＋3m＝0，∴m＝.‎ ‎∵l1∥l2，∴3－m(m－2)＝0且2m≠6(m－2)，故m＝－1.‎ ‎【方法规律】已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解．‎ 变式练习2．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.‎ ‎(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；‎ ‎(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程．‎ ‎【答案】(1). 3x＋4y－14＝0 (2).4x－3y－2＝0‎ 例3.一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过点Q(1,1)．‎ ‎(1)求入射光线的方程；‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度.‎ ‎【解析】(1)设点Q′ (x′，y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点．‎ ‎∵kl＝－1，∴kQQ′＝1.∴QQ′所在直线方程为y－1＝1·(x－1)，‎ 即x－y＝0. 由 解得l与QQ′的交点M的坐标为. 又∵M为QQ′的中点，‎ 由此得解之得 ∴Q′点的坐标为(－2，－2)．‎ 设入射光线与l的交点为N，则P、N、Q′共线．又P(2,3)，Q′(－2，－2)，得入射光线的方程为＝，即5x－4y＋2＝0.‎ ‎(2)∵l是QQ′的垂直平分线，从而|NQ|＝|NQ′|，∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|‎ ‎＝＝. 即这条光线从P到Q的长度是.‎ ‎【方法规律】利用入射线与反射线的性质，转化为点关于直线l的对称问题，即求Q点关于直线l的对称点．‎ 变式练习3．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0的对称直线l2的方程.‎ ‎【答案】2x＋11y＋16＝0.‎ 例4.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－5λ＝0的距离为d，求d的最大值．‎ ‎【解析】直线l的方程可化为x＋y－2＋λ(3x＋y－5)＝0，‎ 由解得∴直线l过定点A.如图，d≤|PA|.‎ 当PA⊥l时，d取最大值|PA|. ∵|PA|＝＝，∴d的最大值为.‎ 变式练习4．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°得直线l2，求直线l1和l2‎ 的方程．‎ ‎【解析】设直线l1的斜率为k，倾斜角为α.由题意，知直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－6＋＝0. ∵k1＝－＝tan α1，∴l1的倾斜角α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角α2＝150°－30°＝120°，‎ ‎∴直线l2的斜率k2＝tan 120°＝－，∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0.‎ 四、课堂练习 ‎1.直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，∴3（1﹣2a）﹣2=0，∴，故选B．‎ ‎2.已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎【答案】A ‎3.过点A(-2，)和B（，4）的直线与直线平行，则的值为 。‎ ‎ 【答案】-8‎ ‎【解析】因为直线平行，斜率相等，所以过点A(-2，)和B（，4）的直线斜率为，所以 ‎。‎ ‎4.已知两条直线与的交点，求：（1）过点且过原点的直线方程；（‎ ‎2）过点且垂直于直线的直线的方程。‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）由题意，直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0联立，解得x=-2,y=2，则交点P的坐标为（-2，2）所以，过点P（-2，2）与原点的直线的斜率为，直线方程为y-2=-1(x+2)，化简得x+y=0；（2）直线l3：x-2y-1=0的斜率为k= 过点P（-2，2）且垂直于直线l3：x-2y-1=0的直线l的斜率为-2．所以，由点斜式所求直线的方程y-2=-2（x+2）即所求直线的方程为2x+y+2=0.‎ 五、课后练习 ‎1.已知直线，则之间的距离为 （ ）‎ ‎ A.1 B. C. D. ‎ ‎ 【答案】B ‎ 【解析】由题知，所以之间的距离.故选B.‎ ‎2.若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为(　　)‎ A. B．－ C．－2 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由＝，得m＝.‎ ‎3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)‎ ‎【答案】C ‎【解析】当a>0时，A，B，C，D均不成立；当a<0时，只有C成立．‎ ‎4.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 。‎ ‎ 【答案】或 ‎ ‎ ‎5.已知光线从点M(-1,0)射出，经直线x-y-1 =0反射，其反射光线通过点N(0,1),则入射光线所 ‎ 在直线方程为 。‎ ‎【答案】x+3y+1=0‎ ‎【解析】先求点N关于直线x-y-1 =0对称后的点N‘（2，-1），则连接点N’和M即为入射光线所在的直线方程，由两点式可得直线方程为x+3y+1=0。‎ ‎6.经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．‎ ‎【答案】2x＋3y－2＝0‎ ‎【解析】由方程组得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0. ‎ ‎7. 已知直线，(1)求点关于对称的点；(2)求关于点对称的直线方程．‎ ‎【答案】(1). (2).‎ ‎8.已知直线 ‎（1）若直线的斜率等于2，求实数的值；‎ ‎（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据直线的方程可得直线过点，然后由斜率公式得，则；.（2）因为直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，所以，所以,‎ 则三角形的面积 则时有最大值2,此时，直线的方程为即.　　‎