高中数学（人教A版）必修4：3-2同步试题（含详解） 6页

高中数学(人教A版)必修4同步试题 ‎1．已知cosα＝－，且α∈，则cos的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析　∵π<α<，∴<<，∴cos<0.‎ 由cosα＝2cos2－1＝－，得cos2＝，‎ ‎∴cos＝－.‎ 答案　B ‎2．设α∈(π，2π)，则 等于(　　)‎ A．sin B．cos C．－sin D．－cos 解析　∵α∈(π，2π)，∴∈，∴cos<0.‎ ‎∴ ＝ ＝|cos|＝－cos.‎ 答案　D ‎3．函数y＝8sinxcosxcos2x的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)‎ A．T＝π，A＝4 B．T＝，A＝4‎ C．T＝π，A＝2 D．T＝，A＝2‎ 解析　y＝8sinxcosxcos2x＝4sin2xcos2x＝2sin4x，‎ ‎∴最小正周期T＝＝，最大值A＝2.‎ 答案　D ‎4．若α，β∈，且tanα＝，tanβ＝，则α－β的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　tan(α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵0<α，β<，∴－<α－β<，∴α－β＝.‎ 答案　B ‎5．若f(x)＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是(　　)‎ A．最大值是9，最小值是－9‎ B．最大值不存在，最小值为7‎ C．最大值是7，最小值是－9‎ D．最大值是7，最小值不存在 解析　f(x)＝cos2x＋8sinx＝1－2sin2x＋8sinx ‎＝－2(sin2x－4sinx)＋1＝－2(sinx－2)2＋9.‎ ‎∵x∈R，－1≤sinx≤1，‎ ‎∴当sinx＝1时，f(x)有最大值7；‎ 当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9.‎ 答案　C ‎6．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－的最大值为________．‎ 解析　y＝sin2x＋3×－ ‎＝sin2x＋cos2x ‎＝sin≤ .‎ 答案　 ‎7．化简：＝________.‎ 解析　原式＝ ‎＝＝tanA.‎ 答案　tanA ‎8．若tanx＝，则＝________.‎ 解析　 ‎＝＝ ‎＝＝2－3.‎ 答案　2－3‎ ‎9．在锐角△ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.‎ 证明　∵∠A＋∠B＋∠C＝π，‎ ‎∴∠A＋∠B＝π－∠C.‎ ‎∴tan(A＋B)＝tan(π－C)．‎ ‎∴＝－tanC.‎ ‎∴tanA＋tanB＝－tanC(1－tanAtanB)．‎ ‎∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.‎ ‎10．若α，β为锐角，且sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，求tan(α－β)．‎ 解　∵sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，‎ 两式平方相加，得 ‎2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝.‎ 即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.‎ ‎∵α，β是锐角，且sinα－sinβ＝－<0.‎ ‎∴0<α<β<，∴－<α－β<0.‎ ‎∴sin(α－β)＝－＝－.‎ ‎∴tan(α－β)＝＝－.‎ 教师备课资源 ‎1.下列各式中值为的是(　　)‎ A．sin15°cos15° B．2cos2－1‎ C. D. 解析　sin15°cos15°＝sin30°＝.‎ ‎2cos2－1＝cos＝.‎ ＝ ＝.‎ ＝· ‎＝tan45°＝，故选D.‎ 答案　D ‎2．函数y＝2cos2－1是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π偶函数 D．最小正周期为的偶函数 解析　因为y＝2cos2－1＝cos＝sin2x，所以为奇函数，T＝＝π.故选A.‎ 答案　A ‎3．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．‎ 解析　f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝sin＋1，所以最小值为1－.‎ 答案　1－ ‎4．求下列各式的值．‎ ‎(1)tan20°＋4sin20°；‎ ‎(2)cos12°cos24°cos48°cos96°.‎ 分析　在(1)中切化弦、通分变形求解，在(2)中，注意式子中所给角为倍数关系，且为余弦，可都乘除sin12°，利用倍角公式可解．‎ 解　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝· ‎＝· ‎＝· ‎＝· ‎＝·＝－.‎ ‎5．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(，)，若a·b＝，且