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  • 2021-06-21 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第九章 第5讲 第1课时 椭圆及其性质

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‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·河北衡水二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则=(  )‎ A.           B. C. D. 解析:选D.因为e===,所以8a2=9b2,所以=.故选D.‎ ‎2.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是(  )‎ A.+=1‎ B.+=1或+=1‎ C.+=1‎ D.+=1或+=1‎ 解析:选B.因为a=4,e=,‎ 所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.‎ 因为焦点的位置不确定,‎ 所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.‎ ‎3.已知点F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,若点P在椭圆C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=(  )‎ A.4 B.6‎ C.8 D.12‎ 解析:选A.由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=|F1F2|2,得3|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|·|PF2|=4,故选A.‎ ‎4.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点,若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为(  )‎ A.-1 B. C. D.+1‎ 解析:选A.不妨设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),如图所示,因为△PF1F2为直角三角形,所以PF1⊥F1F2,又|PF1|=|F1F2|=2c,所以|PF2|=2c,所以|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,所以椭圆E的离心率e=-1.故选A. ‎ ‎5.(2020·江西赣州模拟)已知A,B是椭圆E:+=1(a>b>0)上的两点,且A,B关于坐标原点对称,F是椭圆的一个焦点,若△ABF面积的最大值恰为2,则椭圆E的长轴长的最小值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选D.如图所示,‎ 设直线AB的方程为ty=x,F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立可得y2==-y1y2,‎ 所以△ABF的面积S=c|y1-y2|=‎ c=c≤cb,当t=0时取等号.‎ 所以bc=2.所以a2=b2+c2≥2bc=4,a≥2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.‎ ‎6.(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.‎ 解析:不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.‎ 设M(x,y),‎ 则得 所以M的坐标为(3,).‎ 答案:(3,)‎ ‎7.(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目.近期,“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点,被命名为天河基地,如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面100千米,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15千米,则椭圆形轨道的焦距为________千米.‎ 解析:设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千米.‎ 由题意知解得2c=85.‎ 即椭圆形轨道的焦距为85千米.‎ 答案:85‎ ‎8.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是________.‎ 解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得,A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.‎ 又d=≥,所以1≤b<2.又e===,所以0b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.‎ ‎(1)若e=,求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且b>0)的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限内的点,直线BO交椭圆于点C,O为原点,若直线BF平分线段AC,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.‎ 如图,设点M为AC的中点,连接OM,则OM为△ABC的中位线,于是△OFM∽△AFB,且==,即=,解得e==.故选B.‎ ‎2.(2020·福建福州一模)已知F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,P是椭圆上异于顶点的任意一点,K点是△F1PF2内切圆的圆心,过F1作F1M⊥PK于点M,O是坐标原点,则|OM|的取值范围为(  )‎ A.(0,1) B.(0,)‎ C.(0,) D.(0,2)‎ 解析:选C.如图,延长PF2,F1M相交于N点,‎ 因为K点是△F1PF2内切圆的圆心,所以PK平分∠F1PF2,‎ 因为F1M⊥PK,‎ 所以|PN|=|PF1|,M为F1N的中点,‎ 因为O为F1F2的中点,M为F1N的中点,‎ 所以|OM|=|F2N|=||PN|-|PF2||=||PF1|-|PF2||<|F1F2|=c=,‎ 所以|OM|的取值范围是(0,).‎ 故选C.‎ ‎3.已知F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2,S△F1AF2=2,则椭圆C的方程为________.‎ 解析:因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,对其平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2,又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1||AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以S△F1AF2=|AF1||AF2|=b2=2.又△AF1F2是直角三角形,∠F1AF2=90°,且O为F1F2的中点,所以|OA|=|F1F2|=c,由已知不妨设A在第一象限,则∠AOF2=30°,所以A,则S△AF1F2=|F1F2|·c=c2=2,c2=4,故a2=b2+c2=6,所以椭圆方程为+=1.‎ 答案:+=1‎ ‎4.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>b>0)上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是________.‎ 解析:设正方形的边长为2m,因为椭圆的焦点在正方形的内部,所以m>c,又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>b>0)上,所以+=1>+=e2+,整理得e4-3e2+1>0,e2<=,所以0b>0),F1,F2为其左、右焦点,B1,B2为其上、下顶点,四边形F1B1F2B2的面积为2,点P为椭圆E上任意一点,以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.‎ ‎(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值,并确定此时椭圆E的方程;‎ ‎(2)对于(1)中确定的椭圆E,若给定圆F1:(x+1)2+y2=3,则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值?如果是,求|MN|的值;如果不是,请说明理由.‎ 解:(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc,‎ 所以2bc=2.‎ 因为|A1A2|=2a=2≥2=2,当且仅当b=c=1时取“=”,此时a=,‎ 所以长轴A1A2的长的最小值为2,此时椭圆E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)是定值.设点P(x0,y0),则+y=1⇒y=1-.‎ 圆P的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x+y,即x2+y2-2x0x-2y0y=0,①‎ 圆F1的方程为(x+1)2+y2=3,即x2+y2+2x-2=0,②‎ ‎①-②得公共弦MN所在直线的方程为(x0+1)x+y0y-1=0,‎ 所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d====,‎ 则|MN|=2=2,所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.‎

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