2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第5讲　第1课时　椭圆及其性质 8页

‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·河北衡水二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B． C. D． 解析：选D.因为e＝＝＝，所以8a2＝9b2，所以＝.故选D.‎ ‎2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)‎ A.＋＝1‎ B.＋＝1或＋＝1‎ C.＋＝1‎ D.＋＝1或＋＝1‎ 解析：选B.因为a＝4，e＝，‎ 所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.‎ 因为焦点的位置不确定，‎ 所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.‎ ‎3．已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．12‎ 解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.‎ ‎4．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)‎ A.－1 B． C. D．＋1‎ 解析：选A.不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝－1.故选A. ‎ ‎5．(2020·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选D.如图所示，‎ 设直线AB的方程为ty＝x，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立可得y2＝＝－y1y2，‎ 所以△ABF的面积S＝c|y1－y2|＝‎ c＝c≤cb，当t＝0时取等号．‎ 所以bc＝2.所以a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.‎ ‎6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．‎ 解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.‎ 设M(x，y)，‎ 则得 所以M的坐标为(3，)．‎ 答案：(3，)‎ ‎7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．‎ 解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．‎ 由题意知解得2c＝85.‎ 即椭圆形轨道的焦距为85千米．‎ 答案：85‎ ‎8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．‎ 解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.‎ 又d＝≥，所以1≤b<2.又e＝＝＝，所以0b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.‎ ‎(1)若e＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.‎ 如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.‎ ‎2．(2020·福建福州一模)已知F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为(　　)‎ A．(0，1) B．(0，)‎ C．(0，) D．(0，2)‎ 解析：选C.如图，延长PF2，F1M相交于N点，‎ 因为K点是△F1PF2内切圆的圆心，所以PK平分∠F1PF2，‎ 因为F1M⊥PK，‎ 所以|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，‎ 因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，‎ 所以|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝c＝，‎ 所以|OM|的取值范围是(0，)．‎ 故选C.‎ ‎3．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为________．‎ 解析：因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1||AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A，则S△AF1F2＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎4．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．‎ 解析：设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，所以0b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.‎ ‎(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；‎ ‎(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．‎ 解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，‎ 所以2bc＝2.‎ 因为|A1A2|＝2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时取“＝”，此时a＝，‎ 所以长轴A1A2的长的最小值为2，此时椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)是定值．设点P(x0，y0)，则＋y＝1⇒y＝1－.‎ 圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋y，即x2＋y2－2x0x－2y0y＝0，①‎ 圆F1的方程为(x＋1)2＋y2＝3，即x2＋y2＋2x－2＝0，②‎ ‎①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，‎ 所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d＝＝＝＝，‎ 则|MN|＝2＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.‎