专题20+三角恒等变形（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习 31页

本专题特别注意：‎ ‎1.角的范围问题 ‎2. 角的一致性问题 ‎3. 三角化简形式、名称、角的一致原则 ‎4.角成倍角的余弦之积问题 ‎ ‎5.“1”的妙用 ‎6.辅助角的替换作用 ‎7. 角的范围对函数性质的影响 ‎8. 用已知角表示未知角问题 方法总结：‎ ‎1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.‎ ‎2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.‎ ‎3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.‎ 高考模拟：‎ 一、单选题 ‎1．将函数 的图象向右平移个单位长度后，得到函数，则函数的图象的一个对称中心是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用辅助角公式进行化简，结合平移关系求出g（x）的解析式，利用对称性进行求解即可．‎ 详解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+，‎ 将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，‎ 即g（x）=2sin[2（x﹣）+]+=2sin2x+，‎ 由2x=kπ，k∈Z，得x=，此时g（x）=，‎ 即函数的对称中心为（，），‎ 当k=1时，对称中心为.‎ 故答案为：D 点睛: (1) 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合对称性是解决本题的关键．(2)的图像的对称中心为 ‎2．已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B 点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.‎ ‎3．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据正弦函数的单调递减区间，可以求出的单调递减区间为；利用辅助角公式，先将化成 ‎，再利用余弦函数的单调递减区间可以求出的单调递减区间为；两个区间的交集即为两个函数的单调递减区间，根据的范围可确定的最大值。‎ 点睛：本题考查了求三角函数单调区间，辅助角公式的应用等。熟练记忆正余弦函数的单调区间，掌握好求两个区间的交集运算。‎ ‎4．函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式，再利用三角函数的图象变换得到，再利用诱导公式、三角函数的奇偶性进行求解．‎ 详解：，‎ 将的图象沿轴向右平移个单位后，得到的图象，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 即正数的最小值为．‎ 点睛：1.本题的易错点在将的图象沿轴向右平移个单位后，得到的图象，往往出现错误结果（‎ ‎），要注意左右平移的单位仅仅对于自变量“”而言；‎ ‎2.研究三角函数的奇偶性，要牢记“为奇函数，为偶函数”，再利用诱导公式进行合理转化．‎ ‎5．曲线：如何变换得到曲线：（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】分析：化为正弦型函数，根据图象平移法则即可得出结论．‎ 详解：曲线C1：=‎ ‎=‎ 所以图象向左平移个单位，即可得到曲线C2：的图象．‎ 故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查三角函数图像变换和三角恒等变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 三角恒等变换方法：观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）.‎ ‎6．已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意首先求得的值，然后结合降幂公式求解三角函数式的值即可.‎ 详解：，则，‎ 结合同角三角函数基本关系可得：‎ 据此由题意可得： .‎ 本题选择D选项. ‎ 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，降幂公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：将方程化为，然后画出函数的图象，结合图象根据数形结合求解．‎ 详解：由题意得，‎ ‎∴．‎ 画出函数内的图象，如图所示．‎ 由图象可得要使方程在区间上有两个根，，且，‎ 则，解得．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查三角函数图象的画法和应用，解题时要注意分离参数方法的利用和函数图象中的特殊点的利用．‎ ‎8．已知，若，且是锐角，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据求导公式、法则，‎ 得，由，‎ 得，结合，解得，故正确答案为D. ‎ ‎9．在中，内角的对边分别是，若，则一定是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先利用降幂公式和余弦定理化简，即得△ABC的形状.‎ 点睛：降幂公式有两个：，注意这两个公式不要把中间的加减号记错了. ‎ ‎10．记函数（，）的图象按向量平移后所得图象对应的函数为，对任意的都有，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数，将函数的图象按向量平移后得到函数 ‎ ，由已知 有函数的图象关于直线对称，所以 ‎，其中，‎ 所以，选D.‎ ‎11．已知向量，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，即，代入下式 ‎，选A.‎ ‎12．在中， ， ，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎13．已知直线的倾斜角为，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知有，‎ 故，故选B. ‎ 点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”.‎ ‎14．如图， 中， ，若其顶点在轴上运动，顶点在轴的非负半轴上运动.设顶点的横坐标非负，纵坐标为，且直线的倾斜角为，则函数的图象大致是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得,对应的图象应该是A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面几何中的动点轨迹问题,考查三角函数作图方法.三角函数作图可采用五点作图法: 先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.‎ ‎15．已知，则的值为( )‎ A. -3 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】变形为： ‎ 故答案为：A.‎ ‎16．设， ，且，则下列结论中正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎17．对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角．若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中．则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，由与的夹角，知，故，因为，所以，所以，所以，故选B. ‎ ‎18．已知函数对任意都满足，则函数的最大值为 A. 5 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数满足或，则函数图象关于直线对称；研究函数的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成的形式.‎ ‎19．已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，可得： ，又，∴，‎ 则.‎ 故选：D ‎20．已知函数，其周期为， ，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ 二、填空题 ‎21．设向量若,则的值是___________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：该题考查的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，诱导公式和倍角公式，正确使用公式是解题的关键.‎ ‎22．若，则________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解.‎ 详解：由题意知，整理得，‎ 所以，则.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎23．在中，角的对边分别是，若，则角角的大小为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意得，然后运用余弦定理可得，于是得到．‎ 详解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴． ‎ 点睛：本题考查运用余弦定理解三角形，解题时要注意根据求角时，不要忘了判断的取值范围．‎ ‎24．已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据已知条件求出函数f(x)的解析式，再把函数恰有两个不同的零点转化为y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，再画图分析得到实数m的取值范围.‎ 点睛：本题的关键是转化，把函数恰有两个不同的零点转化为y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，后面问题就迎刃而解了.处理零点问题常用数形结合分析解答.‎ ‎25．已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据条件，先把目标转化为二次齐次式，再利用商数关系“弦化切”代入正切值即可得到结果.‎ 详解：根据题意得，‎ ‎∴.‎ 故答案为：‎ 点睛：如果给的是正切值，求的是有关sin，cos的式子的值，往往把所求式转化为齐次式，利用商数关系弦化切即可.‎ ‎26．已知的内角分别为, ， ， ，且的内切圆面积为,则的最小值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】 ‎ 又的内切圆面积为，则的内切圆半径，则的面积 由余弦定理可得 ‎ 将代入整理得 ‎ 即 解得 ‎（舍），‎ ‎ 即 （当且仅当时取等号），故 的最小值为6.‎ 即答案为6.‎ ‎27．钝角中，若，，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式 将函数化为的形式，利用求最值，其中 的取值需结合数值以及符号确定.‎ ‎28．已知，且，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，且，，①‎ 两边平方可得 ，解得 ，‎ ‎ ，② ‎ ‎∴联立①，②解得： ，‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎29．已知：，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得，，易得，‎ 故，.‎ 故答案为：.‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎30．在中，三个内角所对的边分别为， ， ， ，且，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵， ，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴的取值范围为．‎ 答案： ‎ 三、解答题 ‎31．已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）若关于的方程在区间内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（2）关于的方程在区间内有两个不相等的实数解，等价于与的图象在区间内有两个不同的交点，结合正弦函数图象可得结果.‎ 详解：（1）． ‎ 所以的最小正周期为． ‎ ‎（2）因为，所以． ‎ 因为在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以在上是增函数，在上是减函数． ‎ 又因为，，，‎ 关于的方程在区间内有两个不相等的实数解，‎ 等价于与的图象在区间内有两个不同的交点，‎ 所以要使得关于的方程在区间内有两个不相等的实数解，‎ 只需满足．‎ 点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.本题中，.‎ ‎32．已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在锐角中，内角满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，求出的值，写出的解析式； （2）由正弦、余弦定理求得的值，由此求出的取值范围，再求的取值范围．‎ ‎（2）由得 ‎，即 ‎∴，又，∴‎ ‎∵是锐角三角形，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．‎ ‎33．已知函数 ‎（I）求函数f (x)的最小正周期；‎ ‎（II）当x∈[0，]时，求函数f (x)的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（II）利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的单调区间，由的范围结合函数的单调性，求得函数的最大值和最小值. ‎ 点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题.‎ 函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎34．（本题满分14分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，若满足，，且 是的中点，是直线上的动点，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）增区间为．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】分析: (1)先化简函数f(x)得，再求函数的单调增区间.（2）先化简得再利用对称性结合数形结合求的最小值.‎ 详解：（Ⅰ）， ‎ 由于，‎ 所以，‎ 所以增区间为． ‎ ‎（Ⅱ）‎ 由得，所以 作C关于AB的对称点, 连 由余弦定理得 所以当共线时，取最小值 点睛：本题的难点在第（2）问，直接处理比较困难，利用对称性结合数形结合分析解答，才比较简洁.类似这种在一条线段上找点，求线段和的最值，一般利用对称性结合数形结合解答.‎ ‎35．已知函数.‎ ‎（1）求函数的对称中心及最小正周期；‎ ‎（2）的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，.若，且 ‎，求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2).‎ ‎【解析】分析：（1）化简函数得，然后求出函数的对称中心及最小正周期；（2）由，求出值，再由正弦定理，由，结合条件，易得的值.‎ 详解：（1） ‎ 对称中心 （ ），最小正周期为 ‎ ‎（2）∵ ∴ ‎ ‎∵ ， ，∴ ，‎ ‎∵ ，∴ ，又∵ ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ 即 ，‎ ‎∵ ，∴ ‎ ‎∴ ∵ ，∴ ，∴ ‎ ‎∴ ‎ 点睛：解决函数综合性问题的注意点 ‎ ‎（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．‎ ‎（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．‎ ‎（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．‎ ‎36．在锐角三角形中，为三个内角，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：由二倍角正弦公式及诱导公式可得，进而得到角的大小；‎ ‎（2）利用内角和定理及两角和的正弦公式可得，又，结合正弦函数的图象与性质，可得的取值范围.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以 .‎ 因为在锐角三角形中，，所以，，‎ 所以故，‎ 由正弦函数的单调性可知，的取值范围为.‎ 点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．本题易错点，锐角三角形隐含着对内角范围的限制.‎ ‎37．已知函数.‎ ‎(I)求函数的对称中心及最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)的外接圆直径为,角所对的边分别为.‎ 若.且,求的值 ‎【答案】（I）对称中心（），最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：(I)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的对称性性可得到函数的对称中心；（Ⅱ）由求出的值，根据正弦定理确定的值，由，利用正弦定理可得，利用两角和的正弦公式展开，将的值代入，从而可得结果.‎ 详解：（I） , ‎ 对称中心（），最小正周期为 , ‎ ‎（Ⅱ） , ‎ ‎，, ‎ ‎，, 又 ‎ ,‎ 即 , ‎ 即， ‎ ‎ , ‎ ‎ , ‎ ‎ .‎ 点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强. 解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎38．△中，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，是上的点，平分，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】分析：（1）由，从而由题意得到，故，解方程得，故得．（2）由（1）知，结合题意的，故．在在△中，由正弦定理可求得．‎ ‎（2）由（1）知．‎ ‎∵平分，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 在△中，由正弦定理得．‎ ‎∴．‎ 点睛：（1）解三角形时要结合条件合理的选择正弦定理或余弦定理求解，同时要注意在中这一隐含条件的运用．‎ ‎（2）解三角形问题常与三角变换综合在一起考查，解题时要熟悉常用的变换公式，并根据题目要求将所给条件作出适当的变形．‎ ‎39．已知函数,直线是函数图像的一条对称轴。‎ ‎(I)求函数的解析式及单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)在中，已知,求边长 ‎【答案】(1) .(2)b=4. ‎ ‎【解析】分析：第一问利用向量的数量积坐标公式，求得函数解析式，并利用辅助角公式化简，之后借助于是函数图像的一条对称轴，得到所满足的关系式，结合题中所给的的取值范围，最后确定出的值，从而确定出函数解析式，借助于正弦型函数的单调区间的求法求得结果；第二问涉及到解三角形问题，可以用正弦定理求，也可以用余弦定理求解.‎ 详解：（1） ‎ 是函数图像的一条对称轴 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，的增区间为：‎ 点睛：该题考查的是有关三角问题，在求解的过程中，函数的解析式是以向量的数量积给出的，所以要熟悉向量数量积的坐标运算式，之后需要用辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的解题思路解题，对于第二问，在求解的过程中，可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解，都需要将用到的条件理全.‎ ‎40．在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且 ‎.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）设向量，，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：(1)即得．(2)先求出 ，再利用三角函数的图像和性质求其取值范围.‎ 详解：（1）由题意，有，则，所以． ‎ 因为，所以，所以．‎ 又，所以． ‎ 点睛：本题在求 的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.‎ ‎41．已知的内角的对边分别为其面积为,且.‎ ‎ （Ⅰ）求角；‎ ‎（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到 ‎,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.‎ 详解：(Ⅰ)由己知 ‎ 由余弦定理得，‎ 所以，即,‎ ‎，‎ 所以.‎ 所以，当时，‎ 综上所述，.‎ 点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.‎