数学卷·2018届四川省成都石室外语学校高二上学期半期考试理科数学试卷（解析版） 12页

‎2016-2017学年四川省成都石室外语学校高二上学期半期考试理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．直线的倾斜角是 A.0 B. C. D.不存在 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查直线的倾斜角.依题意，直线垂直于轴，故其倾斜角为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎2．圆的圆心坐标和半径分别为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查圆的标准方程以及圆心与半径.圆的标准方程为：‎ ‎(x+1)2+y2=12,则圆心坐标和半径分别为 ‎ ‎ ‎3．若直线与直线平行，则的值为 A. B.1 C.1或－1 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查两条直线的位置关系.依题意，直线2mx＋y＋6＝0与直线(m－3)x－y＋7＝0平行，则得，故选B.‎ ‎ ‎ ‎4．已知直线l经过点，且与直线平行，那么直线l的方程是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查直线方程.依题意，设所求直线方程为，点代入求得，故所求直线方程为，故选A.‎ ‎ ‎ ‎5．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是 A.－2 B.－4 C.－6 D.－8‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.圆即，得弦心距，再由弦长公式可得即，得，故选B.．‎ ‎ ‎ ‎6．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查圆的方程.依题意，圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，可得圆心为，再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为，故选C．‎ ‎ ‎ ‎7．已知实数x，y满足条件，且，则z的最小值是 A.5 B.－2 C.2 D.－5‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查简单的线性规划问题．由约束条件作可行域如图，由图可知，可行域中点的坐标是使目标函数取得最小值的最优解,.可得,则的最小值是,故选D.‎ ‎ ‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查程序框图.执行程序框图，可得满足条件满足条件满足条件满足条件，不满足条件,退出循环,输出的值为.故选D.‎ ‎ ‎ ‎9．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人.现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取 A.55人，80人，45人 B.40人，100人，40人 C.60人，60人，60人 D.50人，100人，30人 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查了分层抽样的应用.根据题意可得专科生、本科生、研究生的人数之比为，所以抽取的专科生人数人，抽取的本科生人数人，抽取的研究生人数人，故答案为D.‎ ‎ ‎ ‎10．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是 A.－5×3＝－15 B.0.5×3＋4＝5.5‎ C.3×33－5×3＝66 D.0.5×36＋4×35＝1336.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查秦九韶算法.==，然后由内向外计算，最先计算的是，故选B.‎ ‎ ‎ ‎11．已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的最小值是 A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系．圆的圆心坐标为，半径为，由直线与圆相切，得，则，又，得，则，且，则=，当且仅当，即时上式等号成立，故选B．‎ ‎ ‎ ‎12．以原点O引圆的切线为,当m变化时切点P的轨迹方程是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点的轨迹，考查了计算能力.设圆心C，根据题意可得：|OP|2+|PC|2=|OC|2,又因为|OC|2=, |PC|2=, |OP|2=,所以，消去m可得，即为切点P的轨迹方程 二、填空题：共4题 ‎13．28的二进制数是　　‎ ‎【答案】11100(2)‎ ‎【解析】本题主要考查进位制.28÷2=14…0，14÷2=7…0，7÷2=3…1，3÷2=1…1，1÷2=0…1，故，故填．‎ ‎ ‎ ‎14．以点(－1，3)为圆心且与直线x－y＝0相切的圆的方程为　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查圆的方程.由以点为圆心且与直线相切的圆的半径为圆心到直线的距离，得圆半径，得以点为圆心且与直相切的圆的方程为.故填.‎ ‎ ‎ ‎15．如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.则向量可用＝a，＝b，＝c表示为　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查空间向量及其运算.由得=，故填.‎ ‎ ‎ ‎16．圆C为(x－2)2＋y2＝4，圆M为(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E,F，则的最小值为　　.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】本题主要考查直线和圆的方程位置关系．依题意，的圆心，半径等于2，圆，圆心，半径等于1．由，故两圆相离．由，要使最小，需和最小，且最小，如图，设直线和圆交于两点，则的最小值是．,=，，得，得=，故填6．‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长.‎ ‎【答案】把圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的方程相减，‎ 可得两圆的公共弦所在的直线方程为x＋y－3＝0.‎ 由于圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ 故C2(1，1)，半径r2＝，求得点C2到公共弦所在的直线的距离d＝‎ ‎＝，‎ 故公共弦的长为2＝2.‎ ‎【解析】本题主要考查两圆的位置关系.把圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线方程.求得点C2到公共弦所在的直线的距离，利用弦长公式求得弦长.‎ ‎ ‎ ‎18．某车间20名工人年龄数据如下表：‎ ‎(1)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎(2)求这20名工人年龄的方差.‎ ‎【答案】(1)茎叶图如下：‎ ‎(2)年龄的平均数为：＝30.‎ 这20名工人年龄的方差为S2＝[(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋(40－30)2]＝12.6.‎ ‎【解析】本题主要考查茎叶图及平均数与方差.(1)依题意，根据所给数据作出茎叶图.(2)利用公式求得年龄的平均数与方差.‎ ‎ ‎ ‎19．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列.‎ ‎(1)求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；‎ ‎(2)若每组数据用该组区间中点值(例如区间[70，80)的中点值是75作为代表)，试估计该校高一学生历史成绩的众数，中位数和平均分；‎ ‎【答案】(1)设第五、六组的频数分别为x，y,‎ 由题设得，第四组的频数是0.024×10×50＝12,‎ 则x2＝12y,‎ 又x＋y＝50－(0.012＋0.016＋0.03＋0.024)×10×50,即,‎ ‎∴x＝6，y＝3,‎ 补全频率分布直方图 ‎(2)该校高一学生历史成绩的平均分 ‎＋75×0.024＋85×0.012＋95×0.006)＝67.6‎ 中位数：67.3,众数：65.‎ ‎【解析】本题主要考查频率分布直方图及平均数、中位数及众数的求法.(1)设第五、六组的频数分别为x，y,根据第四组的频数为12，求得，又，从而求得的值，即可补全频率分布直方图.(2)利用公式求得该校高一学生历史成绩的平均分，根据所给数据写出中位数和众数.‎ ‎ ‎ ‎20．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点.‎ ‎(1)证明：EF∥平面PCD；‎ ‎(2)求证：面PBD⊥面PAC；‎ ‎(3)若PA＝AB，求PD与平面PAC所成角的大小.‎ ‎【答案】(1)证明：如图连接BD，则E是BD的中点.‎ 又F是PB的中点，所以EF∥PD，‎ 因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD.‎ ‎(2)因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，‎ 又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD，‎ 因此BD⊥平面PAC，BD在平面PBD内，‎ 故面PBD⊥面PAC.‎ ‎(3)连接PE，由(2)可知BD⊥平面PAC，‎ 故∠EPD是PD与平面PAC所成的角.‎ 因为PA＝AB＝AD，∠PAD＝∠BAD＝90°，‎ 所以Rt△PAD≌Rt△BAD.‎ 因此PD＝BD，在Rt△PED中sin∠EPD＝，∠PAD＝30°，‎ 所以PD与平面PAC所成角的大小是30°.‎ ‎【解析】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及空间角.(1)如图连接BD，则E是BD的中点.利用中位线证得EF∥PD，利用线面平行的判定定理证得EF∥平面PCD.(2)利用线面垂直的性质定理证得PA⊥BD，利用线面垂直的判定定理证得BD⊥平面PAC，然后利用面面垂直的判定定理证得面PBD⊥面PAC.(3)连接PE，由(2)可知BD⊥平面PAC，证得∠EPD是PD与平面PAC所成的角.在Rt△PED中，解三角形求得∠PAD，从而求得PD与平面PAC所成角的大小.‎ ‎ ‎ ‎21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于点M、N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.‎ ‎【答案】(1)由题意可得，直线l的斜率存在，‎ 设过点A(0，1)的直线方程：y＝kx＋1，即：kx－y＋1＝0.‎ 由已知可得圆C的圆心C的坐标(2，3)，半径R＝1.‎ 故由＝1，解得：k1＝，k2＝.‎ 故当＜k＜，过点A(0，1)的直线与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点.‎ ‎(2)设M(x1，y1)；N(x2，y2)，‎ 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx＋1，代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，‎ 可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1•x2＝，‎ ‎∴y1•y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝•k2＋k•＋1＝，‎ 由＝x1•x2＋y1•y2＝＝12，解得k＝1，‎ 故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.‎ 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.‎ 所以|MN|＝2.‎ ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.(1)由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A(0，1)的直线方程：y＝kx＋1，利用圆心到直线的距离小于半径求得的取值范围.(2)设M(x1，y1)；N(x2，y2)，将直线方程y＝kx＋1，代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，结合根与系数关系和＝12，求得的值，从而求得直线方程，得出圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.，从而求得|MN|.‎ ‎ ‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】(1)∵N在直线x＝6上，∴设N(6，n)，‎ ‎∵圆N与x轴相切，∴圆N为：(x－6)2＋(y－n)2＝n2，n＞0，‎ 又圆N与圆M外切，圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0，即圆M：(x－6)2＋(x－7)2＝25，‎ ‎∴|7－n|＝|n|＋5，解得n＝1，‎ ‎∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)由题意得OA＝2，kOA＝2，设l：y＝2x＋b，‎ 则圆心M到直线l的距离：d＝，‎ 则|BC|＝2＝2，BC＝2，‎ 即2＝2，解得b＝5或b＝－15，‎ ‎∴直线l的方程为：y＝2x＋5或y＝2x－15.‎ ‎(3)，即，即，‎ ‎，‎ 又≤10，即≤10，解得t∈[2－2，2＋2]，‎ 对于任意t∈[2－2，2＋2]，欲使，‎ 此时,≤10，‎ 只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，‎ 必然与圆交于P、Q两点，此时，即，‎ 因此实数t的取值范围为t∈[2－2，2＋2].‎ ‎【解析】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系.(1)设N(6，n)，由圆N与x轴相切，得圆N为：(x－6)2＋(y－n)2＝n2，n＞0，利用圆N与圆M外切，得|7－n|＝|n|＋5，求得的值，从而圆的方程.(2)设，利用圆心M到直线l的距离结合弦长公式求得的值，从而求得直线的方程.(3)利用，求得，得，结合≤10，求得的范围.‎ ‎ ‎