2021高考数学一轮复习课后限时集训43空间图形的基本关系与公理理北师大版 6页

课后限时集训43‎ 空间图形的基本关系与公理 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)‎ A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c C　[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]‎ ‎2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是(　　)‎ A．① B．①④ ‎ C．②③ D．③④‎ B　[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]‎ ‎3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)‎ A　　　　　B　　　 C　　　　D D　[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]‎ ‎4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)‎ A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 6‎ C　[由题意知，D∈l，lβ，所以D∈β，‎ 又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，‎ 所以点D在平面ABC与平面β的交线上．‎ 又因为C∈平面ABC，C∈β，‎ 所以点C在平面β与平面ABC的交线上，‎ 所以平面ABC∩平面β＝CD.]‎ ‎5．(2019·陕西省第三次联考)已知三棱柱ABCA1B‎1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. B　[如图，设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．‎ 设三棱柱ABCA1B‎1C1的侧棱与底面边长均为1，‎ 则AD＝，A1D＝，A1B＝，‎ 由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝.故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定________个平面．‎ ‎4　[首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．]‎ ‎7．在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．‎ 或　[如图，取BC的中点O，连接OE，OF.‎ 因为OE∥AC，OF∥BD，‎ 所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.]‎ ‎8．(2019·长白山模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号)‎ ‎①没有公共点的两条直线是异面直线；‎ ‎②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；‎ ‎③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；‎ 6‎ ‎④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．‎ ‎①②　[没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不平行；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．]‎ 三、解答题 ‎9．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，‎ ‎(1)求AC与A1D所成角的大小；‎ ‎(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A‎1C1与EF所成角的大小．‎ ‎[解]　(1)如图，连接B‎1C，AB1，由ABCDA1B‎1C1D1是正方体，易知A1D ∥B‎1C，从而B‎1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．‎ 因为AB1＝AC＝B‎1C，‎ 所以∠B1CA＝60°.‎ 即A1D与AC所成的角为60°.‎ ‎(2)连接BD，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A‎1C1.‎ 因为E，F分别为AB，AD的中点，‎ 所以EF∥BD，所以EF⊥AC.‎ 所以EF⊥A‎1C1.即A‎1C1与EF所成的角为90°.‎ ‎10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ ‎[解]　(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC.‎ ‎∴四边形BCHG为平行四边形．‎ ‎(2)∵BE綊AF，G为FA的中点，‎ ‎∴BE綊FG，‎ ‎∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.‎ 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．‎ 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．‎ 6‎ ‎1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]‎ ‎2．在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为 ‎(　　)‎ A．30° B．60° ‎ C．75° D．90°‎ D　[将正三棱柱ABCA1B‎1C1补为四棱柱ABCDA1B‎1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B‎1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2，又因为BC1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90°.]‎ ‎3．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎①③　[如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.]‎ ‎4．(2019·上海高考改编)如图，在正三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝.‎ ‎(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN夹角的余弦值；‎ ‎(2)求PABC的体积．‎ ‎[解]　(1)∵M，N分别为PB，BC的中点，‎ ‎∴MN∥PC，‎ 则∠PCA为AC与MN所成角，‎ 6‎ 在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝，‎ 可得cos∠PCA ‎＝＝＝，‎ ‎∴AC与MN夹角的余弦值为.‎ ‎(2)过P作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则AN＝，‎ AO＝AN＝1.‎ ‎∴PO＝＝.‎ ‎∴VPABC＝××××＝.‎ ‎1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ A　[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，‎ 则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，‎ ‎∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．‎ 设AB＝‎2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，‎ ‎∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，‎ ‎∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.]‎ ‎2.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为________．‎ 　[如图，取BC的中点H，连接FH，AH，所以BE∥FH，所以∠AFH即为异面直线AF与BE所成的角．过A作AG⊥EF于G，‎ 6‎ 则G为EF的中点．连接HG，HE，则△HGE是直角三角形．设正方形边长为2，则EF＝，HE＝，EG＝，AG＝，所以HG＝＝，‎ 所以AH＝＝.‎ 由余弦定理知cos∠AFH＝＝＝.]‎ 6‎