数学（文）卷·2017届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试（2017 9页

锦阳市高2014级第二次诊断性考试 数学（文）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合,，则 A． B． C． D． ‎ ‎2、若复数满足是虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． ‎ ‎3、某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为 A．25 B．20 C． D．5 ‎ ‎4、“”是与直线垂直的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5、袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎6、已知函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围 A． B． C． D． ‎ ‎7、若满足约束条件，则的最大值为 A．20 B．16 C．14 D．6 ‎ ‎8、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：‎ 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右 图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，‎ 则输出的等于 A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎9、若点的直线与函数的图象交 于A、B两点，O为坐标原点，则 A． B． C． D．10 ‎ ‎10、右图是函数的部分图象，‎ 则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11、已知点在椭圆上，过点作圆的切线，切点为A、B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是 A．13 B．14 C．15 D．16 ‎ ‎12、已知，若，则取得最小值时，所在的区间是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.‎ ‎13、若双曲线的一条渐近线为，且过点，‎ 则双曲线的标准方程为 ‎ ‎14、60名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直 方图如右图所示，则成绩不低于80分的学生人数是 ‎ ‎15、已知抛物线，焦点为F，过点作倾斜角为的直线 与抛物线C在第一、四象限交于于A、B两点，与它的准线交于点P，则 ‎ ‎16、已知点，且圆上至少存在一点P，‎ 使得，则的最小值是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列的前n项和为，且 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求数列的前n项和。‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 在中，角所对的边分别为，已知。‎ ‎（1）若，求角；‎ ‎ （2）是否存在恰好使是三个连续的自然数？若存在，求的周长；‎ 若不存在，请说明理由。‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎2016年下半年，简阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如下表所示：‎ ‎（1）根据表中的数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）‎ ‎ （2）若M队平均身高，根据（1）中所得的回归方程，预测M队的平均得分。（精确到0.01）‎ 注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆过点，离心率为。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过点的直线交椭圆C与P、Q两点，N点在直线上，若是等边三角形，‎ 求直线的方程。‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数在上有两个零点为。‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎ （2）求证：。‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线C的参数方程是为参数）‎ ‎（1）将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎ （2）在直角坐标系中，，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线的距离的最小值。‎ ‎23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）时，求不等式的解集；‎ ‎ （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围。‎ 绵阳市高2014级第二次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ CABCA DBCDD CB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14．24 15． 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． ‎ ‎17．解 ：(Ⅰ)设{an}的公差为d，则由题意可得 ‎……………………………………………………3分 解得a1=-4，d=1， ……………………………………………………………5分 ‎∴ an=-4+1×(n-1)=n-5． ……………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)Tn=a1+a2+a3+…+an+‎ ‎=+ ………………………………10分 ‎=‎ ‎=．……………………………………………………12分 ‎18．解：(Ⅰ) ∵，‎ ‎∴ 由正弦定理有sinC=sinA． …………………………………………2分 又C=2A，即sin2A=sinA，‎ 于是2sinAcosA=sinA， …………………………………………………4分 在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，‎ ‎∴ A=． ……………………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)根据已知条件可设， n∈N． ‎ 由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，‎ ‎∴ ． ……………………………………………………8分 由余弦定理得， 代入a，b，c可得 ‎， ……………………………………………10分 解得n=4，‎ ‎∴ a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，‎ 即存在满足条件的△ABC，其周长为15． ………………………………12分 ‎19．解：(Ⅰ)由已知有 ，‎ ‎ ， ‎ ‎ =≈0.73，‎ 于是=-62.48，‎ ‎ ∴ ．………………………………………………10分 ‎(Ⅱ) x=185，代入回归方程得≈72.57，‎ 即可预测M队的平均得分为72.57． ………………………………………12分 ‎20．解：(Ⅰ) 点A(0，)在椭圆C上，于是，即b2=2．‎ 设椭圆C的焦半距为c，则由题意有，即，‎ 又a2=b2+c2，代入解得a2=8，‎ ‎∴ 椭圆C的标准方程为． ……………………………………4分 ‎(Ⅱ)设直线：，． ‎ 联立直线与椭圆方程： 消去得：， ‎ 显然Δ=4t2+28(t2+4)>0，‎ ‎∴ y1+y2=，y1y2=． ………………………………………7分 于是， ‎ 故P，Q的中点． ………………………………………8分 设， 由，则， ‎ 即，整理得，得．‎ 又△是等边三角形，‎ ‎∴ ，即， ‎ 即， ‎ 整理得， 即，‎ 解得 ，， …………………………………………………11分 ‎∴ 直线l的方程是． ………………………………………12分 ‎21．解：(Ⅰ)∵ 在上有两个零点，‎ ‎∴ 方程有两个根，等价于y=a与有两个交点．‎ 令，则，……………………………………………3分 于是x∈(0，2)时，，即h(x)在(0，2)上单调递减；‎ 当x∈(2，+∞)时，，即h(x)在(2，+∞)上单调递增，‎ ‎∴ h(x)min=h(2)=，‎ ‎∴ a的取值范围为(，+∞)． ……………………………………………5分 ‎(Ⅱ)∵是在上的零点， ‎ ‎∴ ，，‎ 两式相除可得． ………………………………………………7分 令， ①‎ 上式变为，即， ②‎ 联立①②解得：，． …………………………………9分 要证明， ‎ 即证明， ‎ 即证明．‎ 令，则． …………………………10分 令， ‎ 故在上单调递增，故， 即， ‎ 故在上单调递增，故，‎ 即，得证． ………………………………………………12分 ‎22．解：(Ⅰ)消去参数得． …………………………………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为． ‎ 设Q()，则M()，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 最小值是．………………………………………………………10分 ‎23．解：(Ⅰ) 当t=2时，．‎ 若x≤1，则，于是由解得x<．综合得x<．‎ 若1．综合得x>．‎ ‎∴ 不等式的解集为{x| x<，或x>}． …………………………5分 ‎（Ⅱ）≥等价于a≤f(x)-x．令g(x)= f(x)-x．‎ 当-1≤x≤1时，g(x)=1+t-3x，显然g(x)min=g(1)=t-2．‎ 当1g(1)=t-2．‎ 当t≤x≤3时，g(x)=x-t-1，g(x)min=g(1)=t-2．‎ ‎∴ 当x∈[1，3]时，g(x)min= t-2．‎ 又∵ t∈[1，2]，‎ ‎∴ g(x)min≤-1，即a≤-1．‎ 综上，的取值范围是a≤-1． ……………………………………………10分