高中数学选修2-2教学课件1_1_1 变化率问题 1_1_2 导数的概念 31页

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果 —— 微积分的产生。 牛 顿 莱 布 尼 茨 背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛应用。 例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。 1. 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵 . 2. 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵 . （重点） 探究点 1 变化率问题 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球 . 回忆一下吹气球的过程 , 可以发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加得越来越慢 . 从数学角度 , 如何描述这种现象呢 ? 气球的体积 V( 单位 :L) 与半径 r( 单位 :dm) 之间的函数关系是 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数 , 那么 当 V 从 0 增加到 1L 时 , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当 V 从 1L 增加到 2L 时 , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 显然 0.62>0.16 我们来分析一下 : 思考 : 当空气容量从 V 1 增加到 V 2 时 , 气球的平均 膨胀率是多少 ? 解析： h t o 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度 h( 单位：米 ) 与起跳后的时间 t （单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t 2 +6.5t+10. 如何用运动员在某些时间 段内的平均速度粗略地 描述其运动状态 ? h t o 解析： h(t)=-4.9t 2 +6.5t+10 计算运动员在 这段时间里的平均速度 , 并思考下面的问题 : 思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗 ? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 ? 在高台跳水运动中 , 平均速度不能准确反映他在 这段时间里的运动状态 . 这里 Δx 看作是相对于 x 1 的一个“增量”可用 x 1 +Δx 代替 x 2 同样 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ) 平均变化率定义 : 上述问题中的变化率可用式子 表示 . 称为函数 f(x) 从 x 1 到 x 2 的 平均变化率 . 若设 Δx=x 2 -x 1 , Δy=f(x 2 )-f(x 1 ) 观察函数 f(x) 的图象 平均变化率 表示什么 ? O A B x y y=f(x) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 2 -x 1 =△x f(x 2 )-f(x 1 )=△y 直线 AB 的斜率 在高台跳水运动中 , 平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 . 又如何求 瞬时速度呢 ? 探究点 2 导数的概念 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 求：从 2s 到 (2+△t)s 这段时间内平均速度 解： △t<0 时 , 在 [ 2+△t, 2 ] 这段时间内 △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当△ t=–0.01 时 , 当△ t=0.01 时 , 当△ t=–0.001 时 , 当△ t=0.001 时 , 当△ t=–0.000 1 时 , 当△ t=0.000 1 时 , 当△ t=–0.000 01 时 , 当△ t=0.000 01 时 , 当△ t=–0.000 001 时 , 当 △t=0.000 001 时 , …… …… 当 Δt 趋近于 0 时 , 平均速度有什么变化趋势 ? 当△ t 趋近于 0 时 , 即无论 t 从小于 2 的一边 , 还是从大于 2 的一边趋近于 2 时 , 平均速度都趋近于一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看 , 时间间隔 |△t | 无限变小时 , 平均速度 就无限趋近于 t = 2 时的瞬时速度 . 因此 , 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s. 从 2s 到 (2+△t)s 这段时间内平均速度 表示“当 t =2, △t 趋近于 0 时 , 平均速度 趋近于确定值 – 13.1”. 为了表述方便，我们用 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度， 然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时 速度的精确值 . 那么 , 运动员在某一时刻 的瞬时速 度为 探究 : 运动员在某一时刻 t 0 的瞬时速度怎样表示 ? 导数的概念 : 函数 y = f (x) 在 x = x 0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x 0 处的导数 , 记作 或 , 即 总结提升 求函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数的一般方法 : 求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值 一差、二比、三极限 例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 , 需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第 x h 时 , 原油 的温度 ( 单位 : ) 为 y=f (x) = x 2 –7x+15 (0≤x≤ 8) . 计算第 2h 与第 6h 时 , 原油温度的瞬时变化率 , 并 说明它们的意义 . 解 : 在第 2h 和第 6h 时 , 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义 , 所以 , 同理可得 在第 2h 和第 6h 时 , 原油温度的瞬时变化率分别为 – 3 和 5. 它说明在第 2h 附近 , 原油温度大约以 3 /h 的速率下降 ; 在第 6h 附近 , 原油温度大约以 5 /h 的速率上升 . 1. 已知函数 f(x)=-x 2 +x 的图象上的一点 A(-1,-2) 及 临近一点 B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( ) A.3 B.3Δx-(Δx) 2 C.3-(Δx) 2 D.3-Δx D 2. 如图，函数 y=f （ x ）在 A ， B 两点间的平均变化率是（　 ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 B 【 解析 】 3. 求 y=x 2 在 x=x 0 附近的平均速度 . 4. 过曲线 y=f(x)=x 3 上两点 P （ 1 ， 1 ）和 Q (1+Δx, 1+Δy) 作曲线的割线，求出当 Δx=0.1 时割线的斜率 . 【 解析 】 析 】 . 【 2. 求函数的平均变化率的步骤 : (1) 求函数的增量 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ) (2) 计算平均变化率 1. 函数的平均变化率 3. 求物体运动的瞬时速度： （ 1 ）求位移增量 Δs=s(t+Δt)-s(t) (2) 求平均速度 （ 3 ）求极限 4. 由导数的定义求 f(x) 在 x=x 0 处的导数的一般步骤： （ 1 ）求函数的增量 Δy=f(x 0 +Δx)-f(x 0 ) (2) 求平均变化率 （ 3 ）求极限 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他 .