数学理卷·2018届湖南省张家界市高三第三次模拟考试（2018 15页

‎2018届湖南省张家界市高三第三次模拟考试 数学（理）试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则的元素个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故答案为：B.‎ ‎2. 已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由题意知 ‎ 复数i对应的点（-2，1）在第二象限，‎ 故答案为：B.‎ ‎3. 已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】, ‎ 故答案为：D.‎ ‎4. ‎ 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ A. 3603 B. 1326 C. 510 D. 336‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，猎物的数量满七进一，则图二所示即为七进制数，将其转化为十进制数为 ‎ 故答案为：C.‎ ‎5. 已知实数，满足，则的最小值是（ ）‎ A. -6 B. -4 C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出不等式组所满足的平面区域如图阴影部分所示，其中A（），B（6，0），C（0，4），作出直线y=x,平移直线l，当其经过点C时，z有最小值，为-4.‎ 故答案为：B.‎ ‎6. 双曲线：的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得到 则双曲线的渐近线方程为 渐近线与圆相切， ‎ 则双曲线方程为：.‎ 故答案为：A.‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，执行程序，由正确，则，；‎ 由正确，则，；‎ 由正确，则，；‎ 由正确，则，；……‎ 由此可以发现的值为，其值规律为以3为周期，由，所以，当错误，则输出的值为5，故选D.‎ ‎8. 若，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令 ‎ ‎ ‎ 故答案为：D.‎ ‎9. 已知等比数列的前项积为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为，则，此等比数列各项均为负数，当为奇数时，为负数，当为偶数时，为正数，所以取得最大值时，为偶数，排除B，而，， ，最大，选择C.‎ ‎10. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为 ‎ 故答案为：A.‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.‎ 由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎11. 已知函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则当取得最小值时，函数的一个单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得到， ‎ ‎ ‎ ‎ 上先增后减，在上单增，在上单减，在 上先增后减，‎ 故答案为：B.‎ ‎12. 已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数在（0，1）上单减，在能够单增，又当时，函数值趋向于正无穷，，因为函数与有相同的值域，‎ ‎，又因为函数的定义域为大于0，故，‎ 故a的取值范围是.‎ 故答案为：A．‎ 点睛：这个题目考查的是函数单调性的研究和函数值域.研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13. 设非零向量，满足，且，则向量与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，故 ‎ 向量与的夹角为.‎ 故答案为：.‎ ‎14. 已知在内任取一个实数，在内任取一个实数，则点位于上方的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知道，x,y满足的平面区域长为2宽为1的矩形，面积为2，其中位于下方的点构成的区域面积为，所对应的概率为： ‎ 故答案为：.‎ ‎15. 已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线有一点，过点作，垂足为，若等边的面积为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴， 由抛物线的定义得到|NF|=p,故|MF|=2p,故 ‎ 故答案为：2.‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。‎ ‎16. 已知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且.球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将三棱锥P—ABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为，设球的半径为R，PA=2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即O=x，连接C，则C=4，，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连接D，‎ E，则 在直角三角形OD中，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，，如图三， 球的表面积为 ‎ 故答案为：100 .‎ 睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 已知在中，.‎ ‎（Ⅰ）若，，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若，，，求的长.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由余弦定理得到，进而得到三角形ABC是直角三角形，根据公式求得面积；（2）设，则，,由余弦公式得到， ‎ ‎.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知， ，解得，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（Ⅱ）设，则，.‎ 在中， ，‎ 解得或（舍去），∴.‎ 在中， .‎ ‎18. 生蚝即牡蛎，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.‎ 质量（）‎ 数量 ‎6‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；‎ ‎（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（I）（只）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由表中数据得到平均值，进而得到结果；（2）任意挑选一个，质量在间的概率，符合二项分布，根据公式求得分布列...................‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为 ‎ ，‎ ‎∴购进，生蚝的数量约有（只）.‎ ‎（Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在间的概率，‎ 的可能取值为0，1，2，3，4，则，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴或.‎ ‎19. 已知在直三棱柱中，，，，，，点在线段上.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据边角关系得到，进而得到，，，∴，又因为是直三棱柱，故，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系，求平面的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的求法得到余弦值.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）不妨设，则，，，.‎ 在和中，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴ ，∴，即；‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∵为直三棱柱，∴平面，∴；‎ ‎∴平面，∵点在线段上，∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 不妨设，则，，，，，，∴，，，.‎ 设平面的法向量，则，‎ 即，取，则，，‎ 则平面的一个法向量；‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 取，则，，则平面的一个法向量；‎ ‎∴ ，‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ 点睛：传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.‎ ‎20. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点.过点做两条相互垂直的直线、分别与椭圆交于、、、四点. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若，，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可建立关于椭圆三个参数的方程组进行求解，由离心率可得，又点在椭圆上，可得，结合，从而问题可得解.‎ ‎（Ⅱ）由题意，可对直线的斜率分“不存在与0”和“都存在且”两种情况进行分类讨论，先对后一种情况探究，则可设两直线的方程分别为，，逐个联立椭圆方程，分别计算的中点的坐标，从而求出直线的方程，并求得其定点为，再对前一种情况进行验证即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知，，解得，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵，，∴、分别为、的中点.‎ 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，‎ 则直线的方程为，，，，，‎ 联立，得，∴，‎ ‎∴，，∴中点的坐标为；‎ 同理，中点的坐标为，∴，‎ ‎∴直线的方程为 ，‎ 即，∴直线过定点；‎ 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；‎ 综上所述，直线过定点.‎ ‎21. 已知关于的方程有两个不同的实数根、. ‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）方程有两个不同的实数根、，等价于有两个不等根，对函数求导，使得函数的图象与有两个不同的交点即可;(2) 证，只需证，需证，构造函数证明大于0.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）∵，∴.令，‎ 则 ，‎ 令，解得，令，解得，‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴；‎ 又当时，，当时，，‎ 画出函数的图象.‎ 要使函数的图象与有两个不同的交点，‎ 则，即实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，不妨设，则，.‎ 要证，只需证.‎ ‎∵，且函数在上单调递减，‎ ‎∴只需证，又，∴只需证，‎ 即证，即证对恒成立.‎ 令，，则，‎ ‎∵，∴，∴恒成立，‎ 则函数在上单调递减，∴.‎ 综上所述，.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. 在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求出曲线、的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若、分别是曲线、上的动点，求的最大值.‎ ‎【答案】（I），；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，根据伸缩公式可求得曲线的普通方程，再普通方程与参数方程的互换公式进行转换，从而求出曲线的参数方程，同理可根据互换公式，将曲线的极坐标方程转化为参数方程.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以点为圆心，半径的圆，则可任取曲线上的点，由两点间的距离公式，求出点到圆心的距离，从而求出，从而问题可得解.‎ 试题解析：（Ⅰ）曲线：经过伸缩变换，可得曲线的方程为，‎ ‎∴其参数方程为（为参数）；‎ 曲线的极坐标方程为，即，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴其参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅱ）设，则到曲线的圆心的距离 ‎ ，‎ ‎∵，∴当时，.‎ ‎∴ .‎ 点睛：此题主要考查坐标的伸缩变换，曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及参数方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考题.在参数方程求最值问题中，通动点的参数坐标，根据距离公式可得所求距离关于参数的解析式，结合三角函数的知识进行运算，从而问题可得解.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，分段解不等式即可；（2）写出函数的分段形式，画出函数的图像，使得 成立即可.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，则 ，‎ 此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：‎ 当时， ，‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 要使函数的图象与轴围成一个三角形，‎ 则，解得；‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎