数学理卷·2019届吉林省长春市十一高中高二上学期期末考试（2018-01） 8页

长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期末考试 数学试题（理科）‎ 组题人：高二数学组 2018.1.10‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）‎ A. 真、真、真 B. 真、真、假 C. 假、假、真 D. 假、假、假 ‎3.“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎8.若，设，则的值（ ）‎ A. 至多有一个不大于1 B. 至少有一个不大于1 ‎ C. 都大于1 D. 都小于1‎ ‎9.点在椭圆上，则的最大值为（ ） A.       B.     C.     D.‎ ‎10.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.在中，，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（ ） A.  B.  C.  D.‎ ‎12.已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是____________.‎ ‎14.观察下列各式：，，，则的末四位数字为____________.‎ ‎15.函数在区间上的值域为_________________.‎ ‎16.设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线在第一象限上的 一点，若，则内切圆的面积为______________________.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，直线（为参数）.‎ ‎（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；‎ ‎（2）若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.设，直线与曲线交于两点，求.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，≌，，是线段的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且长轴长是短轴长的倍.[]‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）设，过椭圆左焦点作斜率直线交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线：，过焦点的动直线与抛物线交于两点，线段的中点为.‎ ‎（1）当直线的倾斜角为时，．求抛物线的方程；‎ ‎（2）对于（1）问中的抛物线，设定点，求证：为定值.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（1）当，时，求证：；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.[学科]‎ 长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期末考试 数学试题（理科）参考答案 一、 选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3[]‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D A D D D B B C C A 二、选择题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解（1），圆心为，半径为；‎ 圆心到直线距离--------3分 所以上的点到的最小距离为.--------5分 ‎（2）伸缩变换为，所以--------7分 将和联立，得.因为--------8分 ‎--------10分 ‎18.解：（1）证明：以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．‎ 则B(0,0,0)，C(0，，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，∴，，．‎ 显然平面PAB的法向量为，‎ 由，平面，‎ ‎∴∥平面.‎ ‎（2）由（1）知，，，设平面的法向量为，则，取，则 ‎∴为平面的一个法向量．‎ 同理：平面的法向量为 ‎∴，故二面角的余弦值为.‎ ‎19.解（1）当时，，则，‎ 令，解得，令，解得，‎ 所以增区间为，减区间为.‎ ‎（2）由，，当时，‎ 故在上为增函数，若，则只需，‎ 即：，‎ 综上有：‎ ‎20.解（1）依题意，,解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ （2） 设直线：，代入椭圆消去得：，‎ 设，则 所以：，‎ 即：，即：‎ 解得：，即，所以：‎ ‎21.解（1）由题意知，设直线的方程为，‎ 由 得：，所以：‎ 又由，所以，所以：抛物线的方程为 ‎（2）由（1）抛物线的方程为，此时设 消去得：，设，‎ 则：‎ 所以：‎ ‎ ，即 ‎ 所以：‎ ‎22.解（1）设，‎ ‎，由 所以：，‎ 故 ‎，所以，在上递增，所以 ‎（2）由条件知，‎ 设，，则 ‎，‎ 所以在上单调递增，‎ ‎（ⅰ）当时，‎ 在上为单调递增函数，故，‎ 所以：‎ ‎（ⅱ）当时，‎ 设 所以：在上为单调递增函数，‎ 所以：‎ 当时，恒成立，不合题意 综上所述：‎