【数学】2020届一轮复习人教A版第45课直线与圆的位置关系学案（江苏专用） 8页

第 45 课　直线与圆的位置关系(2) 1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题. 2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法. 3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的 运算途径. 1. 阅读：必修 2 第 115～117 页. 2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有 几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪 些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？ 3. 践习：在教材空白处，完成必修 2 第 128 页复习题第 12、14 题，第 129 页复习题第 26 题. 　基础诊断　 1. 由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1 引切线，则切线长的最小值为　 7　. 解析：由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1 引切线，当直线上的点到圆心的距 离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1| 2 ＝2 2， 所以切线长最小为 （2 2）2－1＝ 7. 2. 过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜 率为　1 或17 7 　Ｗ. 解析：将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为 r＝ 1.又因为弦长为 2，所以圆心到直线 l 的距离 d＝ 1－( 2 2 )2 ＝ 2 2 .因为直线 l 的斜率存在， 设为 k，所以直线 l：y＋2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k－2＝0，所以|2k－3| k2＋1 ＝ 2 2 ，解得 k＝1 或 k ＝17 7 ，故直线 l 的斜率为 1 或17 7 . 3. 已知圆 O：x2＋y2＝5，直线 l：xcosθ＋ysinθ＝1(0 < θ < π 2)，设圆 O 上到直线 l 的距 离等于 1 的点的个数为 k，则实数 k＝　4　Ｗ. 解析：因为圆 O：x2＋y2＝5，所以圆心 O(0，0)，半径 r＝ 5.因为圆心 O 到直线 l 的距 离 d＝ 1 cos2θ＋sin2θ ＝1< 5，且 r－d＝ 5－1>1，所以圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的 个数为 4，即 k＝4. 4. 已知曲线 C：(x－1)2＋y2＝1，点 A(－2，0)，B(3，a)，从点 A 观察点 B，要使视线 不被曲线 C 挡住，则实数 a 的取值范围是　(－∞，－5 2 4 )∪(5 2 4 ，＋∞)　. 解析：由题意知过点 A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为 y＝k(x＋2)，即 kx －y＋2k＝0，则圆心到切线的距离 d＝ |3k| k2＋1 ＝1，解得 k＝± 2 4 ，所以过点 A 的圆的切线方 程为 y＝± 2 4 (x＋2).当 x＝3 时，y＝±5 2 4 ，所以所求的 a 的取值范围为(－∞，－5 2 4 )∪(5 2 4 ，＋ ∞). 　范例导航　 考向❶ 直线与圆相交的弦的问题 例 1　已知圆 C：(x－1)2＋y2＝9 内有一点 P(2，2)，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点. (1) 当直线 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； (2) 当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程； (3) 当直线 l 的倾斜角为 45°时，求弦 AB 的长. 解析：(1) 因为圆 C：(x－1)2＋y2＝9 的圆心为 C(1，0)，直线 l 经过两点 P，C， 所以直线 l 的斜率为 k＝2－0 2－1＝2，所以直线 l 的方程为 y＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0. (2) 当弦 AB 被点 P 平分时，l⊥PC，所以直线 l 的方程为 y－2＝－1 2(x－2)，即 x＋2y－ 6＝0. (3) 当直线 l 的倾斜角为 45°时，斜率为 1，直线 l 的方程为 y－2＝x－2，即 x－y＝0， 则圆心 C(1，0)到直线 l 的距离为 1 2. 又圆的半径为 3，所以弦 AB＝ 34. 已知圆 x2＋y2＝8 内一点 P(－1，2)，过点 P 的直线 l 的倾斜角为 α，直线 l 交圆于 A，B 两点. (1) 若 α＝3π 4 ，则 AB＝　 30　； (2) 若弦 AB 被点 P 平分时，则直线 l 的方程为　x－2y＋5＝0　Ｗ. 解析：(1) 因为 α＝3π 4 ，所以 kAB＝－1，所以直线 l 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y －1＝0，所以圆心 O(0，0)到 AB 的距离 d＝|0＋0－1| 2 ＝ 2 2 ，则 AB＝2 8－1 2＝ 30. 解析：(2) 因为弦 AB 被点 P 平分，所以 OP⊥AB. 又因为 kOP＝－2，所以 kAB＝1 2，所以直线 l：y－2＝1 2(x＋1)，即 x－2y＋5＝0. 考向❷ 定点、定值问题 例 2　如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－3，4)，B(9，0)，C，D 分别为线段 OA，OB 上的动点，且满足 AC＝BD. (1) 若 AC＝4，求直线 CD 的方程； (2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点 O) 解析：(1) 因为 A(－3，4)， 所以 OA＝ （－3）2＋42＝5. 因为 AC＝4，所以 OC＝1，所以 C(－3 5，4 5). 由 BD＝4，得 D(5，0)， 所以直线 CD 的斜率为 0－4 5 5－(－3 5 ) ＝－1 7， 所以直线 CD 的方程为 y＝－1 7(x－5)， 即 x＋7y－5＝0. (2) 设 C(－3m，4m)(0 5， 所以圆 C 与直线 y＝－2x＋4 不相交，所以 t＝－2 不符题意. 综上，圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 考向❸ 隐圆问题 例 3　如图，已知圆 C：x2＋y2＝9，点 A(－5，0)，直线 l：3x－4y＝0. (1) 求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程； (2) 在直线 OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点 B(不同于点 A)，满足：对于圆 C 上 任意一点 P，都有PB PA为一常数.若存在，求出所有满足条件的点 B 的坐标；若不存在，请说 明理由. 解析：(1) 由题意可设所求直线方程为 4x＋3y－b＝0.　 因为直线与圆相切， 所以 |－b| 42＋32＝3，得 b＝±15， 所以所求直线方程为 4x＋3y＋15＝0 或 4x＋3y－15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点 B(t，0). 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3，0)时， PB PA＝|t＋3| 2 ； 当点 P 为圆 C 与 x 轴的右交点(3，0)时， PB PA＝|t－3| 8 .　 依题意，|t＋3| 2 ＝|t－3| 8 ，解得 t＝－5(舍去)或 t＝－9 5. 下面证明点 B (－9 5，0)对于圆 C 上任意一点 P，都有PB PA为一常数. 设 P(x，y)，则 y2＝9－x2， 所以PB2 PA2＝ (x＋9 5 )2 ＋y2 （x＋5）2＋y2＝ x2＋18 5 x＋9－x2＋81 25 x2＋10x＋25＋9－x2＝ 18 25（5x＋17） 2（5x＋17） ＝ 9 25， 所以PB PA＝3 5为常数. 方法二：假设存在这样的点 B(t，0)，使得PB PA为常数 λ，则 PB2＝λ2PA2，设 P(x，y)， 所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2(5λ2＋t)x＋34λ 2－t2－9＝0 对 x∈[－3，3]恒成立，所以 {5λ2＋t＝0， 34λ2－t2－9＝0，解得 {λ＝3 5， t＝－9 5 或{λ＝1， t＝－5 (舍去)， 故存在点 B (－9 5，0)对于圆 C 上任意一点 P，都有PB PA＝3 5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y＝2x－4.设圆 C 的半径为 1， 圆心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线 y＝x－1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆 C 上存在点 M，使得 MA＝2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解析：(1) 由题意知，圆心 C 是直线 y＝2x－4 和 y＝x－1 的交点，解得点 C(3，2)， 于是切线的斜率必存在. 设过点 A(0，3)的圆 C 的切线方程为 y＝kx＋3. 由题意得|3k＋1| k2＋1 ＝1，解得 k＝0 或 k＝－3 4， 故所求切线方程为 y＝3 或 3x＋4y－12＝0. (2) 因为圆心在直线 y＝2x－4 上，所以设圆心 C(a，2a－4)， 所以圆 C 的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 设点 M(x，y)，因为 MA＝2MO， 所以 x2＋（y－3）2＝2 x2＋y2， 化简得 x2＋y2＋2y－3＝0， 即 x2＋(y＋1)2＝4， 所以点 M 在以 D(0，－1)为圆心，2 为半径的圆上. 由题意得点 M(x，y)也在圆 C 上， 所以圆 C 与圆 D 有公共点， 则 2－1≤CD≤2＋1，即 1≤ a2＋（2a－3）2≤3. 整理，得－8≤5a2－12a≤0. 由 5a2－12a＋8≥0，得 a∈R； 由 5a2－12a≤0，得 0≤a≤12 5 ， 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为[0，12 5 ]. 　自测反馈　 1. 过点(2，3)且与圆(x－3)2＋y2＝1 相切的直线方程为　x＝2 或 4x＋3y－17＝0　Ｗ. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为 x＝2，满足题意；当切线的斜率存在时， 设切线的斜率为 k，则切线的方程为 y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，由圆心(3，0)到 切线的距离等于半径得 |k＋3| k2＋1 ＝1，所以 k＝－4 3，切线方程为 4x＋3y－17＝0.综上，所求切 线方程为 x＝2 或 4x＋3y－17＝0. 2. 若直线 l：y＝kx＋1 被圆 C：x2＋y2－2x－3＝0 截得的弦最短，则实数 k＝　1　. 解析：由题意得圆 C：(x－1)2＋y2＝4，因为直线 l 过点 M(0，1)，且被圆 C 截得的弦最 短，所以直线 l 与直线 CM 垂直，又 kCM＝－1，所以 k＝1. 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的圆(x－1)2＋(y－a)2＝ 16 相交于 A，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是　－1　. 解析：圆(x－1)2＋(y－a)2＝16 的圆心坐标为 C(1，a)，半径 r＝4，直线 ax＋y－2＝0 与 圆(x－1)2＋(y－a)2＝16 相交于 A、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心 C 到直线 ax＋y－2＝0 的距离为 2 2，所以 d＝|a＋a－2| a2＋1 ＝2 2，解得 a＝－1. 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点 P 在圆 O：x 2＋y2＝50 上.若 PA → ·PB → ≤20，则点 P 横坐标的取值范围是　[－5 2，1]　. 解析：设点 P 坐标为(x，y)，则PA → ＝(－12－x，－y)，PB → ＝(－x，6－y)，则PA → ·PB → ＝x2 ＋y2＋12x－6y≤20.又因为 x2＋y2＝50，所以PA → ·PB → －20＝x2＋y2＋12x－6y－20＝50＋12x－ 6y－20≤0，即 2x－y＋5≤0，则点 P 表示的轨迹在直线 2x－y＋5＝0 的上方.又因为点 P 在 圆 x2＋y2＝50 上，由图易知，点 P 的横坐标的取值范围是[xC，xD].由题意得 xC＝－5 2，联 立{2x－y＋5＝0， x2＋y2＝50， 消去 y 得 x2＋4x－5＝0，解得 x1＝－5，x2＝1，即 xD＝1，所以点 P 的横 坐标的取值范围是[－5 2，1]. 1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求 解；二是利用方程组求解，前者是常用方法. 2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用. 3. 你还有哪些体悟，写下来：