2014-2018年五年真题分类第四章 三角函数解三角形 45页

专题四 三角函数、解三角形 考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式 ‎1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A. B. C.1 D. ‎1.A tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ ‎2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan ，则＝(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.C　[＝＝ ‎＝＝＝＝3.]‎ ‎3.(2014·大纲全国，3)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)‎ A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b ‎3.C　[∵b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a，∴b>a.‎ 又c＝tan 35°＝>sin 35°＝cos 55°＝b，∴c>b.∴c>b>a.故选C.]‎ ‎4.（2017•北京,12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）=________． ‎ ‎4.﹣ 方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣ 方法二：∵sinα= ， 当α在第一象限时，cosα= ， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ ：∵sinα= ， 当α在第二象限时，cosα=﹣ ， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ 综上所述cos（α﹣β）=﹣ ， 故答案为：﹣ 5.（2017•新课标Ⅱ,14）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x∈[0， ]）的最大值是________． ‎ ‎5. 1 f（x）=sin2x+ cosx﹣ =1﹣cos2x+ cosx﹣ ， 令cosx=t且t∈[0，1]， 则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣ ）2+1， 当t= 时，f（t）max=1， ‎ 即f（x）的最大值为1.‎ 考点2 三角函数的图象与性质 ‎1．（2018全国Ⅱ，10）若f(x)=cosx-sinx在‎[-a, a]‎是减函数，则a的最大值是(　　)‎ A．π‎4‎ B．π‎2‎ C．‎3π‎4‎ D．‎π ‎1.A 因为f(x)=cosx−sinx=‎2‎cos(x+π‎4‎)‎，所以由‎0+2kπ≤x+π‎4‎≤π+2kπ,(k∈Z)‎得‎−π‎4‎+2kπ≤x≤‎3π‎4‎+2kπ,(k∈Z)‎，因此‎[−a,a]⊂[−π‎4‎,‎3π‎4‎]∴−a0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin.‎ 于是f(0)＝A，f(2)＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin，‎ 又∵－<－4<<4－<，其中f(2)＝Asin ‎＝Asin＝Asin，f(－2)＝Asin ‎＝Asin＝Asin.‎ 又f(x)在单调递增，∴f(2)0)‎，若f(x)≤f(π‎4‎)‎对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．‎ ‎22.‎2‎‎3‎ 因为f(x)≤f(π‎4‎)‎对任意的实数x都成立，所以f(π‎4‎)‎取最大值，所以π‎4‎ω−π‎6‎=2kπ(k∈Z)，∴ω=8k+‎2‎‎3‎(k∈Z)‎，因为ω>0‎，所以当k=0‎时，ω取最小值为‎2‎‎3‎.‎ ‎23.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是 .‎ ‎23.7 [在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：‎ 由图象可得两图象有7个交点.]‎ ‎24.(2016·全国Ⅲ，14)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移 个单位长度得到.‎ ‎24.[y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移个单位长度得到.]‎ ‎25.(2015·浙江，11)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.‎ ‎25.π　(k∈Z)　[f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，‎ ‎∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是，k∈Z.]‎ ‎26.(2014·上海，1)函数y＝1－2cos2(2x)的最小正周期是________.‎ ‎26.　[y＝1－2cos2(2x)＝1－2×＝－cos 4x，则最小正周期为.]‎ ‎27．（2018江苏，17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为‎△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．‎ ‎（1）用θ分别表示矩形ABCD和‎△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；‎ ‎（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为‎4:3‎．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎27.（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．‎ 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，‎ 故OE=40cosθ，EC=40sinθ，‎ 则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），‎ ‎△CDP的面积为‎1‎‎2‎×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．‎ 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．‎ 令∠GOK=θ0，则sinθ0=‎1‎‎4‎，θ0∈（0，π‎6‎）．‎ 当θ∈[θ0，π‎2‎）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，‎ 所以sinθ的取值范围是[‎1‎‎4‎，1）．‎ 答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 ‎1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[‎1‎‎4‎，1）．‎ ‎（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，‎ 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），‎ 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）‎ ‎=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π‎2‎）．‎ 设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π‎2‎），‎ 则f'(θ)=cos‎2‎θ-sin‎2‎θ-sinθ=-(2sin‎2‎θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1)‎．‎ 令f'(θ)=0‎，得θ=π‎6‎，‎ 当θ∈（θ0，π‎6‎）时，f'(θ)>0‎，所以f（θ）为增函数；‎ 当θ∈（π‎6‎，π‎2‎）时，f'(θ)<0‎，所以f（θ）为减函数，‎ 因此，当θ=π‎6‎时，f（θ）取到最大值．‎ 答：当θ=π‎6‎时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎28.(2015·福建，19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；‎ ‎(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.‎ ‎①求实数m的取值范围；‎ ‎②证明：cos(α－β)＝－1.‎ ‎28.解法一　(1)将g(x)＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sin x.‎ 从而函数f(x)＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).‎ ‎(2)①f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x＝＝sin(x＋φ)‎ .‎ 依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，).‎ ‎②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解。‎ 所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.‎ 当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；‎ 当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ).‎ 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2－1＝－1.‎ 法二　(1)解　同法一.‎ ‎(2)①解　同法一.‎ ‎②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，‎ 所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.‎ 当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；‎ 当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；‎ 所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ).‎ 于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]‎ ‎＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)‎ ‎＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)‎ ‎＝－＋＝－1.‎ ‎29.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝sincos－sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值.‎ ‎29.(1)因为f(x)＝sin x－(1－cos x)＝sin－，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.‎ 当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.‎ ‎30.(2015·重庆，18)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性.‎ ‎30.(1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x－ ‎＝sin－，‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.‎ ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而 当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.‎ 综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎31.(2015·天津，15)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ ‎31.　(1)由已知，有 f(x)＝－＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ f＝－，f＝－,f＝，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎32.(2015·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.‎ ‎32.(1)根据表中已知数据，解得A＝5，‎ ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，‎ 解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ ‎33.(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24).‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎33.(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，‎ ‎－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin>11，即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此‎‎1‎‎2‎时函数单调增，从而得到函数的减区间为‎[2kπ-‎5π‎3‎,2kπ-π‎3‎](k∈Z)‎，函数的增区间为‎[2kπ-π‎3‎,2kπ+π‎3‎](k∈Z)‎，所以当x=2kπ-π‎3‎,k∈Z时，函数fx取得最小值，此时sinx=-‎3‎‎2‎,sin2x=-‎‎3‎‎2‎，所以fxmin=2×(-‎3‎‎2‎)-‎3‎‎2‎=-‎‎3‎‎3‎‎2‎，故答案是‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎8.(2018全国Ⅱ，15)已知，，则__________．‎ ‎8. 因为，，所以，‎ 因此 ‎9.（2017•江苏,5）若tan（α﹣ ）= ．则tanα=________．‎ ‎9. ∵tan（α﹣ ）= = = ,∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= ，故选．‎ ‎10.(2016·四川，11)cos2－sin2＝ .‎ ‎10.[由题可知，cos2－sin2＝cos＝(二倍角公式).]‎ ‎11.(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是 .‎ ‎11.　[sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.]‎ ‎12.(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.‎ ‎12.3　[∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝3.]‎ ‎13．（2018浙江，18）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（‎-‎3‎‎5‎，-‎‎4‎‎5‎）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α+π）的值；‎ ‎（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=‎5‎‎13‎，求cosβ的值．‎ ‎13.（Ⅰ）由角α的终边过点P(-‎3‎‎5‎,-‎4‎‎5‎)‎得sinα=-‎‎4‎‎5‎，‎ 所以sin(α+π)=-sinα=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎（Ⅱ）由角α的终边过点P(-‎3‎‎5‎,-‎4‎‎5‎)‎得cosα=-‎‎3‎‎5‎，‎ 由sin(α+β)=‎‎5‎‎13‎得cos(α+β)=±‎‎12‎‎13‎.‎ 由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα，‎ 所以cosβ=-‎‎56‎‎65‎或cosβ=‎‎16‎‎65‎.‎ ‎14．（2018江苏，16）已知α,β为锐角，tanα=‎‎4‎‎3‎，cos(α+β)=−‎‎5‎‎5‎．（1）求cos2α的值；（2）求tan(α−β)‎的值．‎ ‎14.（1）因为tanα=‎‎4‎‎3‎，tanα=‎sinαcosα，所以sinα=‎4‎‎3‎cosα．‎ 因为sin‎2‎α+cos‎2‎α=1‎，所以cos‎2‎α=‎‎9‎‎25‎，‎ 因此，cos2α=2cos‎2‎α-1=-‎‎7‎‎25‎．‎ ‎（2）因为α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)‎．‎ 又因为cos(α+β)=-‎‎5‎‎5‎，所以sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 因此tan(α+β)=-2‎．‎ 因为tanα=‎‎4‎‎3‎，所以tan2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=-‎‎24‎‎7‎，‎ 因此，tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)‎‎1+tan2αtan(α+β)‎=-‎‎2‎‎11‎．‎ ‎15.(2015·山东，16)设f(x)＝sin xcosx－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.‎ ‎15.解　(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin 2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，‎ 由题意知A为锐角，所以cosA＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立.因此bcsinA≤.‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎16.(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________.‎ ‎16.1　[f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.]‎ ‎17．（2017•新课标Ⅰ，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ． ‎ ‎(1)求sinBsinC； ‎ ‎(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长． ‎ ‎17.（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ， ∴3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA， ∵sinA≠0， ‎ ‎∴sinBsinC= ； （2）解：∵6cosBcosC=1， ∴cosBcosC= ， ∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣ =﹣ ， ∴cos（B+C）=﹣ ， ∴cosA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， ∵ = = =2R= =2 ， ∴sinBsinC= • = = = ， ∴bc=8， ∵a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣bc=9， ∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33， ∴b+c= ∴周长a+b+c=3+ ． ‎ ‎18.（2017•新课标Ⅱ，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ． （Ⅰ）求cosB； （Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b． ‎ ‎18.（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2 ， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB= ； ‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知sinB= ， ∵S△ABC= ac•sinB=2， ∴ac= ， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× × =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 19.（2017•新课标Ⅲ，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （Ⅰ）求c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． ‎ ‎19.（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0， ∴tanA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ）， 即c2+2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， （Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC， ∴cosC= ， ∴sinC= ， ‎ ‎∴tanC= 在Rt△ACD中，tanC= ， ∴AD= ， ∴S△ACD= AC•AD= ×2× = ， ∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ， ∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ = . 20.（2017•山东,17）设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．‎ ‎（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值． ‎ ‎20. （Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ） =sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx） = sinωx﹣ cosωx = sin（ωx﹣ ）， 又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0， ∴ ω﹣ =kπ，k∈Z， 解得ω=6k+2， 又0＜ω＜3， ∴ω=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ）， 将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= ‎ sin（x﹣ ）的图象； 再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的图象， ∴函数y=g（x）= sin（x﹣ ）； 当x∈[﹣ ， ]时，x﹣ ∈[﹣ ， ]， ∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]， ∴当x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ． 21.（2017·天津,17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+ ）的值． ‎ ‎21.（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b， 故由sinB= ，可得cosB= ． 由已知及余弦定理，有 =13， ∴b= ． 由正弦定理 ，得sinA= ． ∴b= ，sinA= ； （Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ， cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ． 故sin（2A+ ）= = ． ‎ ‎22.（2017•浙江,17）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）． （Ⅰ）求f（ ）的值． ‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间． ‎ ‎22. ∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ） （Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2， （Ⅱ）∵ω=2，故T=π， 即f（x）的最小正周期为π， 由2x+ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得： x∈[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z， 故f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z． ‎ ‎23.(2014·江西，16)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.‎ ‎(1)若a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值.‎ ‎23.解　(1)f(x)＝sin＋cos ‎＝(sin x＋cosx)－sin x ‎＝cosx－sin x＝sin，‎ 因为x∈[0，π]，从而－x∈，‎ 故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎(2)由得 又θ∈知cosθ≠0，解得 ‎24.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ ‎24.　(1)f＝Asin＝，∴A·＝，A＝.‎ ‎(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin＋·sin＝，‎ ‎∴[(sin θ＋cosθ)＋(－sin θ＋cosθ)]＝，∴cosθ＝，cosθ＝，‎ 又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，∴f＝sin(π－θ)＝sin θ＝.‎ ‎25.(2014·江苏，15)已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值.‎ ‎25.　(1)因为a∈，sin α＝，所以cosα＝－＝－.‎ 故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcosα＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×＋×＝－.‎ 考点4 解三角形 ‎1．（2018全国Ⅱ，6）在ΔABC中，cosC‎2‎=‎‎5‎‎5‎,BC=1,AC=5，则AB=(　　)‎ A．‎4‎‎2‎ B．‎30‎ C．‎29‎ D．‎‎2‎‎5‎ ‎1.A 因为cosC=2cos‎2‎C‎2‎−1=2×‎(‎5‎‎5‎)‎‎2‎−1=−‎3‎‎5‎,‎所以c‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎−2abcosC=1+25−2×1×5×(−‎3‎‎5‎)=32∴c=4‎‎2‎，选A.‎ ‎2．（2018全国Ⅲ，9）‎△ABC的内角A ，  B ，  C的对边分别为a，b，c，若‎△ABC的面积为a‎2‎‎+b‎2‎−‎c‎2‎‎4‎，则C=‎(　　)‎ A．π‎2‎ B．π‎3‎ C．π‎4‎ D．‎π‎6‎ ‎2.C 由题可知S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎absinC=‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎4‎,所以a‎2‎‎+b‎2‎-c‎2‎=2absinC.由余弦定理a‎2‎‎+b‎2‎-c‎2‎=2abcosC,得sinC=cosC.‎∵C∈(0,π)‎,‎∴C=‎π‎4‎.故选C.‎ ‎3.（2017•山东,9）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　） ‎ A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A ‎3. A 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB， 可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a．故选A．‎ ‎4.(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)‎ A.5 B. C.2 D.1‎ ‎4.B　[S△ABC＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，‎ ‎∴sin B＝，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.]‎ ‎5．（2018浙江，13）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=‎‎7‎，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．‎ ‎5.‎21‎‎7‎ 3 由正弦定理得ab‎=‎sinAsinB,所以sinB=‎2‎‎7‎×sinπ‎3‎=‎21‎‎7‎,‎由余弦定理得a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosA,∴7=4+c‎2‎-2c,∴c=3‎（负值舍去）.‎ ‎6．（2018江苏，13）在‎△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，‎∠ABC=120°‎，‎∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1‎，则‎4a+c的最小值为________．‎ ‎6.9 由题意可知，S‎△ABC‎=S‎△ABD+‎S‎△BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得‎1‎‎2‎acsin120°=‎1‎‎2‎a×1×sin60°+‎1‎‎2‎c×1×sin60°‎，化简得ac=a+c,‎1‎a+‎1‎c=1‎，因此‎4a+c=(4a+c)(‎1‎a+‎1‎c)=5+ca+‎4ac≥5+2ca‎⋅‎‎4ac=9,‎当且仅当c=2a=3‎时取等号，则‎4a+c的最小值为‎9‎.‎ ‎7.（2017•浙江,14）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，com∠BDC=________． ‎ ‎7. ； 如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE= BC=1，AE⊥BC，∴AE= = ，∴S△ABC= BC•AE= ×2× = ，∵BD=2， ∴S△BDC= S△ABC= ，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC,在Rt△ABE中，∵cos∠ABE= = ，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC= ， 故答案为， . ‎ ‎ ‎ ‎8.(2016·全国Ⅱ，13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .‎ ‎8.[在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.]‎ ‎9.(2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________.‎ ‎9.7　[S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.]‎ ‎10.(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.‎ ‎10.1　[因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.]‎ ‎11.(2015·北京，12)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.‎ ‎11.1　[由余弦定理：cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝，cos C＝＝＝，‎ ‎∴sin C＝，∴＝＝1.]‎ ‎12.(2015·重庆，13)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.‎ ‎12.　[由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°,从而∠BAD＝15°＝∠DAC,所以C＝180°-120°-30°＝30°,AC＝2ABcos 30°＝.]‎ ‎13.(2015·天津，13)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.‎ ‎13.8　[∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝，‎ S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，‎ ‎∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝52－2×24×＝64，∴a＝8.]‎ ‎14.(2014·天津，12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________.‎ ‎14.－　[由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cos A＝＝－.]‎ ‎15.(2014·江苏，14)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.‎ ‎15.　[由正弦定理可得a＋b＝2c，又cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cos C的最小值是.]‎ ‎16.(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________.‎ ‎16.　[因为a＝2，所以(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝＝＝，又00)，‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.‎ 代入＋＝中，有＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cos A＝＝.‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin B＝cos B＋sin B.‎ 故tan B＝＝4.‎ ‎25.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.‎ ‎25.(1)证明由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，‎ 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，‎ 于是sin B＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.‎ ‎(2)由S＝得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，‎ 因sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.‎ 当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.‎ 综上，A＝或A＝.‎ ‎26.(2016·全国Ⅰ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.‎ ‎26.　(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，‎ ‎2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝，所以C＝.‎ ‎(2)由已知,absin C＝,又C＝,所以ab＝6,由已知及余弦定理得,a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.‎ ‎27.(2015·安徽，16)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.‎ ‎27.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，‎ 所以a＝3.‎ 又由正弦定理，得sin B＝＝＝，‎ 由题设知0c.已知B·B＝2，cos B＝，b＝3.‎ 求：(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值.‎ ‎33.　(1)由·＝2得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝，‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.‎ 因a＝b>c，所以C为锐角，‎ 因此cos C＝＝＝.‎ 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎34.(2014·北京，15)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长.‎ ‎34.　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.‎ 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC-∠B)＝sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B＝×－×＝.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.‎ 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B＝82+52-2×8×5×＝49.所以AC＝7.‎ ‎35..(2014·陕西，16)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值.‎ ‎35.(1)证明　∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.‎ ‎∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C).‎ ‎(2)解　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.‎ 由余弦定理得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立.‎ ‎∴cos B的最小值为.‎ ‎36.(2014·安徽，16)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值.‎ ‎36.　(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.‎ 由正、余弦定理得a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.‎ ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.‎ 由于0