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- 2021-06-21 发布
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2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘与仿真测试
34 平面向量 平面向量的应用
【考点讲解】
一、 具本目标:
一)向量的应用
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
二)考点解读与备考:
1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主,基本稳定为选择题或填空题,难度较低;
2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合,以工具的形式进行考查,常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.
3.备考重点:
(1) 理解有关概念是基础,掌握线性运算、坐标运算的方法是关键;
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,应注意运用数形结合的数学思想,将共线、垂直等问题,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.
4.难点:向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件,综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质,会用向量的几何意义解决问题,有时运用向量的坐标运算更能方便运算.
二、知识概述:
常见的向量法解决简单的平面几何问题:
1.垂直问题:
(1)对非零向量与, .
(2)若非零向量 .
2.平行问题:
(1)向量与非零向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使得 .
(2)设是平面向量,则向量与非零向量共线 .
3.求角问题:
(1)设是两个非零向量,夹角记为,则 .
(2)若是平面向量,则 .
4.距离(长度)问题:
(1)设,则 ,即 .
(2)若,且,则 .
【答案】1.
2.(1),(2)
3.(1),(2).
4.(1) (2).
【优秀题型展示】
1. 在平面几何中的应用:
已知中,,边上的高为,求点和向量的坐标.
解得 ∴点D坐标为(1,1),=(-1,2).
【答案】=(-1,2)
【变式】已知四边形的三个顶点,,,且,则顶点的坐标为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【变式】
已知正方形的边长为,点分别为的中点,求的值.
【解析】以为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.
由已知条件,可得
2.在三角函数中的应用:
已知向量,.设函数,已知在中,内角的对边分别为,若,,,求()的取值范围.
【解析】 由正弦定理得或 .
因为,所以.
因为+.
所以,
,,
所以.
【答案】
3.在解析几何中的应用:
(1)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为坐标原点,则实数a的值为________.
【答案】±2
(2)椭圆的焦点为FF,点P为其上的动点,当∠FP F为钝角时,点P横坐标的取值范围是 .
【解析】法一:F1(-,0)F2(,0),设P(3cos,2sin).
为钝角,.
∴
=9cos2-5+4sin2=5 cos2-1<0.
解得:
∴点P横坐标的取值范围是().
【答案】()
1. 在物理学中的应用:
如图所示,用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力是 .
【答案】10N
【真题分析】
1.【2017浙江,15】已知向量满足则的最小值是________,最大值是_______.
【解析】本题考点是向量的三角形法则与三角函数值域.由题意可设的夹角为,分别将与与向量,放在两个三角形中,由余弦定理可以得到,
,
.
设,则,
那么有,因为,所以,可以得到的最小值是4,最大值是.
【答案】4,
2. 【2015高考安徽,文15】是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论得序号)
①为单位向量;②为单位向量;③;④;⑤。
【答案】①④⑤
3.【2014上海,文14】已知曲线C:,直线l:x=6.若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得,则m的取值范围为 .
【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由知是的中点,设,则,由题意,,解得.
【答案】
4.【 2014湖南16】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1,则的最大值是_________.
【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示, 圆的定义与 三角函数的值域.
【答案】A
3.已知数列为等差数列,且满足,若,点为直线外一点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
4.设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若=+,
则∠BAC的度数等于 .
【解析】取BC的中点D,连接AD,则+=2 .
由题意得3=2,∴AD为BC的中线且O为重心.
又O为外心,∴△ABC为正三角形,∴∠BAC=60°.
【答案】60°
5.已知向量=(sinθ,cosθ)与=(,1),其中θ∈(0,).
(1)若∥,求sinθ和cosθ的值;(2)若f(θ)=(+)2,求f(θ)的值域.
【解析】(1)∵∥,∴sinθ·1-cosθ=0,求得tanθ=.
又∵θ∈(0,),∴θ=.
∴sinθ=,cosθ=.
(注:本问也可以结合sin2θ+cos2θ=1或化为2sin(θ-)=0来求解)
(2)f(θ)=(sinθ+)2+(cosθ+1)2=2sinθ+2cosθ+5=4sin(θ+)+5,
又∵θ∈(0,),θ+∈(,),