湖南省湖湘名校联合体2021届高三数学上学期入学试题（人教新课标A版附答案） 18页

湖湘名校教育联合体·2021届高三入学摸底考试 高三数学 ‎ ‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集， ，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设复数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个 A．70 B．64 C．60 D．58‎ ‎4. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物,那么污染物减少需要花的时间约为（ ）‎ A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时 ‎5. 已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持，. 设，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）‎ A．点A在某个定球面上运动； ‎ B．与水平地面所成锐角记为，直线与水平地面 所成角记为，则为定值；‎ C．可能在某个时刻，； ‎ D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为．‎ ‎7. 已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最 小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 已知函数 若函数恰有2个零点，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9.已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是(　 　)‎ A. 当点A在圆O内（不与圆心重合）时，点Q的轨迹是椭圆； ‎ B. 点Q的轨迹可能是一个定点； ‎ C. 当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支； ‎ D. 点Q的轨迹不可能是抛物线．‎ ‎10.年月日，某市物价部门对家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：‎ 价格 ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ ‎11‎ 销售量 ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有( ) ‎ A．变量线性负相关且相关性较强； B．；‎ C．当时,的估计值为； D．相应于点的残差约为．‎ ‎11. 已知函数的最小正周期是，则下列判断正确的有（ ）.‎ A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；‎ B．函数在区间上是减函数；‎ C．函数的图象关于点对称；‎ D．函数取得最大值时的取值集合为．‎ ‎12．下列说法正确的是( )‎ A．若，则“”是“”的充要条件；‎ B．； ‎ C．； ‎ D．中，若为钝角，则．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 展开式的常数项为________．‎ ‎14. 在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为________．‎ ‎15. 设双曲线C：的中心为，上、下焦点分别为F1，F2，过F1作以实轴为直 径的圆的切线，切点为，与C的一条渐近线交于轴下方的点．若，则C的离心率为_______．‎ ‎16.九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906–1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n个圆环，用 表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动次数．已知数列满足下列条件：，记的前项和为，则：(1)________；(2) ________．‎ ‎ ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. （本题满分10分）在①是边上的高，且，②平分，且，‎ ‎③是边上的中线，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边的长．‎ 问题：在锐角中，已知，是边上一点，________，求边的长．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18. （本题满分12分）设等比数列的前n项和为，已知，．‎ ‎（1）求公比； ‎ ‎（2）若时，．求数列的前n项和．‎ ‎19. （本题满分12分）“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金字招牌”．为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”．为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查（一位市民只参加一次）．通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：‎ 组别 频数 ‎1‎ ‎12‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎11‎ ‎4‎ ‎（1）由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分，μ近似为这100人得分的均值．求得分在区间的概率；（注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表）‎ 赠送话费的金额（元）‎ ‎30‎ ‎50‎ 概率 ‎（2）在（1）的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如右表所示：‎ 现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）‎ 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列 与数学期望．‎ 附：参考数据：①；‎ ‎②； ‎ ‎③若，则，．‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，三棱柱内接于圆柱，已知圆柱的轴截面为正方形，，点在轴上运动．‎ ‎（1）证明：不论在何处，总有；‎ ‎（2）当点为的中点时，求平面与平面 所成的锐二面角的余弦值． ‎ ‎ ‎ ‎21. （本题满分12分）已知函数． ‎ ‎（1）求证：； （2）若，求的取值范围．‎ ‎22. （本题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线为．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）点在上，且，，垂足为，直线另交于，当四边形面积最小时，求直线的方程．‎ 高三数学参考答案 ‎ ‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 【命题意图】本题考查集合交并补运算的意义，改编自2007版教材必修1第12页B组第4题，属基础题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据知图中阴影集合为，‎ 从而.故选B.‎ ‎2. 【命题意图】本题考查复数乘方运算，改编自2007版教材选修2-2第116页A组第1题（4），属基础题.‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ ‎3. 【命题意图】本题以简单立体几何计数为背景考查排列组合及组合数的计算，源自2007版教材选修2-3第41页B组第1题（5）题，属于基础题.‎ ‎【答案】D ‎【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有70-12=58个．故选D．‎ ‎4. 【命题意图】本题改编自2007版教材必修1第83页B组第6题，考查指数和对数的运算、估算和数据处理能力，属于中档题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知时，，故．污染物减少即，由 故选B.‎ ‎5. 【命题意图】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，属于中档题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，故选B.‎ ‎6.【命题意图】本题主要考查以实际问题为背景的立体几何问题，侧重考查直观想象的核心素养，‎ 属中档题．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持，所以 又因为为定值，所以也是定值，所以点A在 某个定球面上运动，故A正确；‎ 作出简图如下，，所以，故B正确.‎ 因为，所以不可能有，故C不正确；‎ 设，则，，‎ 当时，直线与平面所成角最大；此时直线与平面所成角的正弦值为，故D正确；‎ 故选C.‎ ‎7. 【命题意图】本题考查解析法研究平面几何问题，向量数量积的运算，圆外一点与圆上的点的距离最值问题，属中档题．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，则．‎ 设，则，‎ ‎∴由已知得：，‎ 即，∴点在以为圆心，半径为的圆上．‎ 又表示圆上的点到原点的距离，∴．‎ 故选A．‎ ‎8. 【命题意图】本题考查求分段函数解析式，利用图像研究函数零点，考查等价转化思想，数形结合思想，属中档偏难题.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，‎ 所以，‎ 所以函数恰有2个零点等价于函数与函数的图象有2个公共点，由图象可知．故选A.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9. 【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的定义，侧重考查数学抽象的核心素养，源自2007版教材选修2-1第49页A组第7题.‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ 对A,如图1，连接QA,由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 对B，如图2，当点A在圆上时，点Q与圆心重合，轨迹为定点；‎ 对C，如图3，连接QA,由已知得|QA|＝|QP|.所以||QA|-|QO||＝||QP|-|QO||＝|OP|＝r.又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线.‎ 对D,由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，综合A,B,C可知点Q的轨迹不可能为抛物线.‎ 故选ABD.‎ ‎10.【命题意图】本题考查线性回归方程的性质与实际意义，需要注意回归方程过样本中心点，属于基础题．‎ ‎【答案】ABC ‎ ‎【解析】‎ 对A，由表可知随增大而减少，可认为变量线性负相关，且相关性强，故A正确.‎ 对B,价格平均,销售量.‎ 故回归直线恒过定点，故，故B正确.‎ 对C, 当时, ，故C正确.‎ 对D, 相应于点的残差约为，故D不正确.故选ABC ‎11. 【命题意图】本题考查正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】．‎ 对A，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，结论不正确．‎ 对B，当时，，则在上是减函数，结论正确．‎ 对C，因为f(-)=0，得到函数图象的一个对称中心为，结论正确．‎ 对D，因为，结论正确．‎ 故选BCD．‎ ‎12． 【命题意图】本题以不等式为载体考查常用逻辑用语，不等式大小比较，导数应用等综合知识，属中档偏难题。‎ ‎【答案】BD ‎【解析】 ‎ 对A，（当且仅当时取等号），又 ‎ ，故充分性成立；‎ 又取， ，必要性不成立，故A不正确.‎ 对B,考查函数，因为单调递减，故 ‎．故 B正确.‎ 对C,因为又设，从而递增，故，所以C错误.‎ 对D，因为为钝角，所以，有，所以，又因为函数在上是减函数，故有，所以D正确．‎ 故选BD, ‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.【命题意图】本题考查二项式定理与组合数计算，属基础题.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式的通项为 故，常数项为．‎ ‎14. 【命题意图】本题考查四面体外接球表面积计算，考查直观想象和数学运算的核心素养，属基础题.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 的外接球直径为，，.‎ ‎15. 【命题意图】本题以双曲线、圆为背景，主要考查圆的切线、双曲线的简单几何性质，属中档题.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，易知，‎ ‎，‎ 可知，且中，斜边上 的高为，即.‎ 由渐近线的斜率为且，知，‎ 故．‎ ‎16. 【命题意图】本题以中国文化为背景考查数列 求通项和前n项和的问题，考查数据处理能力，‎ 属中档偏难题。‎ ‎【答案】(1)341；(2) ．‎ ‎【解析】‎ 当n为偶数时，‎ ‎；‎ 当n为奇数时，‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. 【命题意图】本题以原创开放性问题为背景，考查余弦定理、面积公式、三角恒等变换，考查数据的选择与处理能力，属于中档题.‎ ‎【答案】无论选择哪个条件，都有．‎ ‎【解析】‎ 方案一：选条件①：‎ 由面积关系得： ………5分 在中，由余弦定理得， 所以．………10分 方案二：选条件②：‎ 设，则，由面积关系得： …5分 在中，由余弦定理得， 所以．………10分 方案三：选条件③：‎ 设，分别在与中由余弦定理得：， ………5分 ‎，∴． ………10分 另法提示：中线加倍延长，由余弦定理可求．‎ ‎18. 【命题意图】本题源自2007版人教A版教材必修5第61页A组第1题（2），考查了等比数列的通项公式和前n项的和公式，错位相减法求和，意在考查学生的数学计算和数据处理能力，属中档题．‎ ‎【答案】（1）或； （2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由， 或．………5分 ‎（2）由（1）知， ………7分 相减得： ………9分 ‎ ………12分 ‎19.【命题意图】本题以“创建全国文明城市”为背景，主要考查了频率分布表、正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查逻辑推理与数学运算能力，属于中档题．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，． ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据表格中的数据，可得：‎ ‎，‎ 所以．………5分 ‎（2）由题意，可得，则获赠话费X的可能取值为，‎ ‎，，，，， ………10分 则X的分布列为：‎ X ‎30‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ P 故期望值（元）．………12分 ‎20.‎ ‎ 【命题意图】该题以原创立体几何图形为背景考查平面几何元 素求解、线面垂直的判定和性质、二面角的向量求法，属于中 档偏难题，考查直观想象、数学抽象、数据处理的核心素养．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：连结并延长，交于，交圆柱侧面于．‎ ‎ ‎ 又圆柱中，，，‎ 平面， ………3分 不论在何处，总有平面 ‎ ………5分 ‎（2）如图，建立空间直角坐标系，由（1）知轴，设，则，‎ 在中，‎ 从而. ………7分 ‎ ‎ ‎ 设平面的一个法向量为，则有，‎ 取，得， ………10分 而平面的一个法向量为，于是得：‎ ‎，故所求锐二面角的余弦值为． ………12分 ‎21. ‎ ‎【命题意图】本题以余弦函数为背景考查利用导数解决函数不等式问题，涉及函数构造、等价转化、放缩转化、不等式证明等典型问题，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养．属偏难题．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：设 ，则．‎ 由知在上递增，．‎ 从而是增函数，，故原不等式成立．………5分 ‎（2）已知对恒成立．‎ 设，‎ 一方面，由． ………7分 另一方面，当时，．‎ 利用（1）中的结论有：． ………9分 构造函数，则．递减．‎ 从而，，恒成立．‎ 综上得：． ………12分 另法提示：已知对恒成立．构造函数，可知，由（1）知单调递减，则．(请自行酌情给分)‎ ‎22. ‎ ‎【命题意图】本题根据2007版人教A版教材选修2-1‎ 第81页B组第3题改编，考查直线方程和抛物线的标 准方程，直线过定点，弦长公式，利用导数求函数最值 等综合运用，考查数学计算、逻辑推理能力，属于难题．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设抛物线的标准方程为，由已知得．‎ 故抛物线的标准方程为． ………3分 ‎（2）先证直线过定点．‎ 设直线的方程为，．‎ 联立 ‎ 故直线过定点． ………6分 由已知再设直线的方程为，则直线的方程为．‎ 联立，‎ 联立， ‎ ‎ ………9分 设，则，‎ 由 易知在递减，在上递增，因此在取最小值，从而面积取得最小值，此时，‎ 故直线的方程为． ………12分 另法提示：设的斜率为，则的斜率为．可知．‎ ‎，‎ 从而直线，直线．‎ 设，则． ‎ ‎(以下同原解法，从略，请自行酌情给分．)‎