数学卷·2017届浙江省宁波市高三上学期期末联考（2017 9页

浙江省宁波市2017届高三上学期期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C． D．0 ‎ ‎4.已知是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C.若，，则 D．若，，则 ‎5.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（ ）‎ A．0.45 B．0.5 C.0.55 D．0.6‎ ‎6.在平面直角坐标中，有不共线的三点，已知所在直线的斜率分别为，则“”是“为锐角”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.设实数满足，则的最小值为（ ）‎ A．1.5 B．2 C.5 D．6‎ ‎8.过双曲线的左顶点作斜率为1的直线，若与双曲线的两条渐近线分别交于，且，则此双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数，，当时，，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，在正方形中，点分别为边的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折过程中（ ）‎ A．点与点在某一位置可能重合 B．点与点的最大距离为 C.直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.若实数，且，则 ； ．‎ ‎12.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是 ，体积是 ．‎ ‎13.已知直线：，，若直线经过抛物线的焦点，则 ；此时直线被圆截得的弦长 ．‎ ‎14.已知三边分别为，且则边所对应的角大小为 ，此时，如果，则的最大值为 ．‎ ‎15.某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是 （用数字作答）.‎ ‎16.若正实数满足，则的最大值为 .‎ ‎17.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，在数列中，，则实数的取值范围为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数为偶函数，求的最小值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在三棱台中，，，为 的中点，二面角的大小为.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆：.‎ ‎（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知数列满足，，令.‎ ‎（Ⅰ）求证：是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）记数列的前项和为，求；‎ ‎（Ⅲ）求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: ‎ 二、填空题 ‎11.；1 12.；6 13. -1； 14. ； 15.24 16. 17.‎ 三、解答题 ‎18.（Ⅰ）‎ ‎，‎ 所以函数的最小正周期.‎ 由，，得，‎ 所以函数的单调递增区间为，.‎ ‎（Ⅱ）由题意，得，‎ 因为函数为偶函数，‎ 所以，，‎ 当时，的最小值为.‎ ‎19.（Ⅰ）证：取中点，连结.‎ 易知：，，，‎ 所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）解：由三棱台结构特征可知，直线的延长线交于一点，记为，‎ 易知，为等边三角形.‎ 连结.‎ 由（Ⅰ）可知为二面角的平面角，即.‎ 因为，为中点，‎ 所以平面，平面平面.‎ 过点作于点，连结.‎ 由平面平面，可知平面，‎ 所以直线与平面所成角为.‎ 易知，在中求得，‎ 所以.‎ ‎20.解：（Ⅰ）‎ 由，得.‎ 经检验，当时取到最小值，‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）由，即，对任意恒成立.‎ ‎（1）当时，有；‎ ‎（2）当时，，得.‎ 令，得；‎ 若，则；若，则.‎ 得在上递增，在上递减.‎ 故的最大值为.‎ 所以.‎ 综合（1）（2）得.‎ ‎21.解：（Ⅰ）因为，，所以.‎ 又有，得.‎ ‎（Ⅱ）若存在点，使得，‎ 则直线和的斜率存在，分别设为，且满足.‎ 依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.‎ 由，得.‎ 因为直线与椭圆有两个交点，所以.‎ 即，解得.‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎，.‎ 令，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 化简得，，所以.‎ 当时，检验也成立.‎ 所以存在点，使得.‎ ‎22.解：（Ⅰ），‎ 两式相减，得 经检验，当时上式也成立，即.‎ 有即，且 故是等比数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 两式相减，得 化简得；‎ ‎（Ⅲ）由 得 又 有 故.‎