2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(四)　导数及其应用 9页

‎ 板块命题点专练(四)　导数及其应用 ‎ ‎(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)‎ 命题点一　导数的运算及几何意义 命题指数：☆☆☆☆☆‎ 难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题 ‎1．(2014·大纲全国卷)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)‎ A．2e　　　　　　　　　　　　 B．e C．2 D．1‎ ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎3．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.‎ ‎4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________.‎ 命题点二　导数的应用 命题指数：☆☆☆☆☆‎ 难度：高、中 题型：选择题、解答题 ‎1．(2012·辽宁高考)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)‎ A．(－1,1] B．(0,1]‎ C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞ )单调递增，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] ‎ C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)‎ ‎3．(2013·浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)‎ A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1 处取到极大值 ‎ C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 ‎ D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 ‎ ‎4．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R ‎)的图象不可能的是(　　)‎ ‎5．(2014·陕西高考)设函数 f(x)＝ln x＋，m ∈R.‎ ‎(1)当m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；‎ ‎(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；‎ ‎(3)若对任意b>a>0，<1 恒成立，求 m的取值范围．‎ ‎6.(2014·北京高考)已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈.‎ ‎(1)求证：f(x)≤0；‎ ‎(2)若a<0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a)．‎ ‎(1)求g(a)；‎ ‎(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.‎ 命题点三　定积分 命题指数：☆☆☆☆, ‎ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 ‎1．(2014·江西高考)若f(x)＝x2＋‎2‎f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ ‎2．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎3．(2013·江西高考)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)‎ A．S10)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．解析：y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，‎ 直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.‎ 由题意得解得则a＋b＝－3.‎ 答案：－3‎ 命题点二 ‎1．选B　函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得01时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.‎ ‎3．选C　法一：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当01时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当01时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.‎ 法二：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.‎ ‎4．选B　分两种情况讨论：‎ 当a＝0时，函数为y＝－x与y＝x，图象为D，故D有可能；当a≠0时，函数y＝ax2－x＋的对称轴为x＝，对函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a求导得y′＝‎3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，则x1＝，x2＝，所以对称轴x＝介于两个极值点x1＝，x2＝之间，A，C满足，B不满足，所以B不可能．故选B.‎ ‎5．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，‎ 则f′(x)＝，‎ ‎∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，‎ 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，‎ ‎∴f(x)的极小值为2.‎ ‎(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，‎ 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．‎ 设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，‎ 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，‎ 当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；‎ 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．‎ ‎∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，‎ ‎∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.‎ 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知 ‎①当m＞时，函数g(x)无零点；‎ ‎②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；‎ ‎③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；‎ ‎④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．‎ 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；‎ 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；‎ 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．‎ ‎(3)对任意的b＞a＞0，＜1恒成立．‎ 等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．(*)‎ 设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x＞0)，‎ ‎∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减，‎ 由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，‎ 得m≥－x2＋x＝－2＋(x＞0)恒成立，‎ ‎∴m≥，‎ ‎∴m的取值范围是.‎ ‎6．解：(1)证明：由f(x)＝xcos x－sin x得 f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.‎ 因为在区间上f′(x)＝－xsin x＜0，‎ 所以f(x)在区间上单调递减．‎ 从而f(x)≤f(0)＝0.‎ ‎(2)当x＞0时，“＞a”等价于“sin x－ax＞‎0”‎；‎ ‎“＜b”等价于“sin x－bx＜‎0”‎．‎ 令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c.‎ 当c≤0时，g(x)＞0对任意x∈恒成立．‎ 当c≥1时，因为对任意x∈，g′(x)＝cos x－c＜0，所以g(x)在区间上单调递减．从而g(x)＜g(0)＝0对任意x∈恒成立．‎ 当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈使得g′(x0)＝cos x0－c＝0.‎ g(x)与g′(x)在区间上的情况如下：‎ x ‎(0，x0)‎ x0‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ g(x)‎   因为g(x)在区间[0，x0]上是增函数，所以g(x0)＞g(0)＝0.进一步，“g(x)＞0对任意x∈恒成立”当且仅当g＝1－c≥0，即0＜c≤.‎ 综上所述，当且仅当c≤时，g(x)＞0对任意x∈恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)‎ ‎＜0对任意x∈恒成立．‎ 所以，若a＜＜b对任意x∈恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.‎ ‎7．解：(1)因为a>0，－1≤x≤1，所以 ‎(ⅰ)当00，故f(x)在(a,1)上是增函数；‎ 所以g(a)＝f(a)＝a3.‎ ‎(ⅱ)当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋‎3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1,1)上是减函数，所以g(a)＝f(1)＝－2＋‎3a.‎ 综上，g(a)＝ ‎(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(a)，‎ ‎(ⅰ)当00，‎ 知t(a)在(0,1)上是增函数．‎ 所以t(a)