数学文卷·2017届福建省莆田第六中学高三下学期第二次模拟考试（2017 10页

莆田第六中学2017届高三第二次模拟考试数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎‎2017-05-13‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.若集合，，则“”是“”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ）‎ A.10 B‎.20 ‎ C.30 D.40‎ ‎3.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.已知，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知，且，函数的图象在 点处的切线的斜率为3，数列的前项 和为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知等比数列，且，则的值为（ ）‎ A.2 B‎.4 ‎ C.8 D.16‎ ‎9.若实数、、，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知三棱锥，是直角三角形，其斜边平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数，且，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设变量，满足约束条件：，则目标函数的最小值为 ．‎ ‎14. 已知直线与圆相切，则 ．‎ ‎15.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则 ．‎ ‎16.在中，，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 数列是公差为的等差数列，为其前n项和，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）证明成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求的值。‎ ‎18. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在市的区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．‎ ‎（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（百万元）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且斜边，侧棱，点为的中点，点在线段上，（为实数）.‎ ‎（1）求证：不论取何值时，恒有；‎ ‎（2）当时，记四面体的体积为，四面体的体积为，求：.‎ ‎20.已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的 垂直平分线分别与，交于，两点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 设函数（为常数），为自然对数的底数.‎ ‎（1）若函数的任意一条切线都不与轴垂直，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，求使得成立的最小正整数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，使得成立，求的范围；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ 莆田第六中学2017届高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案 一、选择题 ABBCD； AADDD；CA.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13.4； 14. 15. 16. 2‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意有，即，解得，……3分 又，……4分 即，……5分 又∵均不为零，‎ 所以成等比数列. ……6分 ‎（2）,由（1）可知，所以，……7分 所以……8分 原式=……10分 ‎……12分 ‎18.解：（1）由表中数据和参考数据得：，……2分 ‎，……4分 ‎∴，……5分 ∴，‎ ‎∴．……6分 ‎（2）由题意，可知总收入的预报值与之间的关系为：，……7分 设该区每个分店的平均利润为，则，……8分 故的预报值与之间的关系为，……10分 则当时，取到最大值，‎ 故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．……12分 ‎19(I)证明：是等腰直角三角形，点为的中点，……2分 ‎……4分 又……5分 又……6分 ‎(II) 是等腰直角三角形，且斜边 ‎……8分 ‎ ……11分 所以：……12分 ‎20.解：(I)由题意得……3分 点的轨迹为以为焦点的椭圆……4分 点的轨迹的方程为……5分 ‎(II)直线的方程可设为，设 联立可得……6分 由求根公式化简整理得……7分 假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则 即……8分 ‎……9分 ‎ ‎ ‎ ……10分 ‎ ‎ ‎ ……11分 ‎ 求得……12分 因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点. ……12分 ‎21.解：（1）由已知函数的任意一条切线都不与轴平行等价于在R上无解。……1分 ‎，……2分 记，则 令，则，所以，……3分 又当时，‎ 所以须且只需……4分 ‎ 解得……5分 ‎（2）当时，要使恒成立，即恒成立，……6分 令，则，‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数的上单调递增．……7分 又因为时，，且，‎ 所以，存在唯一的，使得，……8分 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增．‎ 所以，当时，取到最小值．……9分 ‎，……10分 因为，所以，……11分 从而使得恒成立的最小正整数的值为1．……12分 ‎22.解：（I）由由，得……4分 曲线的直角坐标方程为……5分 ‎（II）将直线的参数方程代入，得……6分 设两点对应的参数分别为则，，……7分 ‎……9分 当时，的最小值为2. ……10分 ‎23.解：（I）……3分 当 所以 ……4分 ‎∴ ……5分 ‎（II）即≥由（I）可知，‎ 当的解集为空集；……6分 当时，即，；……8分 当时，即，；……9分 综上，原不等式的解集为 ……10分 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎