2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练71　坐标系 5页

课时分层训练(七十一)　坐标系 ‎(对应学生用书第343页)‎ ‎1．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．‎ ‎[解]　由题意，把变换公式代入曲线方程y′＝3 sin得3y＝3 sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎[解]　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)法一：将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ 法二：直线C3的直角坐标方程为x－y＝0，圆C2的圆心C2(1,2)到直线C3‎ 的距离d＝＝，圆C2的半径为1，‎ 所以|MN|＝2×＝，所以△C2MN的面积为.‎ ‎3．(2018·合肥一检)已知直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C的方程为sin θ－ρ cos2θ＝0.‎ ‎(1)求曲线C的直线坐标方程；‎ ‎(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．‎ ‎[解]　(1)∵sin θ－ρcos2θ＝0，‎ ‎∴ρsin θ－ρ2cos2θ＝0，即y－x2＝0.‎ ‎(2)将 代入y－x2＝0，‎ 得＋t－＝0，即t＝0.‎ 从而交点坐标为(1，)．‎ ‎∴交点的一个极坐标为.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值. ‎ ‎【导学号：79140387】‎ ‎[解]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3‎ 的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎6．(2018·湖北调考)在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为.‎ ‎(1)求点C的直角坐标；‎ ‎(2)若点P在曲线C2：x2＋y2＝4上运动，求|PB|2＋|PC|2的取值范围. ‎ ‎【导学号：79140388】‎ ‎[解]　(1)点A的直角坐标为(1,1)．‎ 由A，C关于y轴对称，则C(－1,1)．‎ ‎(2)易得B(0,2)，C(－1,1)．‎ 曲线C1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ 设P(x，y)，x＝2cos θ，y＝2sin θ，‎ 则|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－2)2＋(x＋1)2＋(y－1)2‎ ‎＝2x2＋2y2－6y＋2x＋6‎ ‎＝14＋2(x－3y)‎ ‎＝14＋2(2cos θ－6sin θ)‎ ‎＝14＋4(cos θ－3sin θ)‎ ‎＝14＋4cos(θ＋φ)．‎ 所以|PB|2＋|PC|2∈[14－4，14＋4]．‎