2017-2018学年湖北省鄂东南示范高中教改联盟高二上学期期中联考数学（理）试题 7页

‎2017 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学（理科）试卷 ‎8、抛物线 y 2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点为 F ，已知点 A ， B 为抛物线上的两个动点，且 ‎‎ ÐAFB = 120° ，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 AB MN ‎‎ 的最小值 考试时间：2017 年 11 月 14 日上午 8:00—10:00 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎为（ ）‎ A． 3 B．1 C． 2 3 D． 3‎ ‎3 3‎ ‎1、若命题 p : $x0 > 0, x0‎ ‎£ 2018, 则命题 p 的否定是（ ）‎ ‎9、如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABC ^ 平面 BCD ， D BAC 与 D BCD A． "x > 0, x > 2018‎ C． "x £ 0, x < 2018‎ ‎B． "x > 0, x ³ 2018‎ D． "x £ 0, x £ 2018‎ ‎均为等腰直角三角形，且 ÐBAC = ‎ÐBCD = ‎90o ，BC = ‎‎ ‎2．点 是线段 ‎2、已知直线方程为 cos 300o x + sin 300o y - 3 = 0 ，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． 60o B． 60o 或300o ‎AB 上的动点，若线段 CD 上存在点 Q，使得异面直线 PQ 与 AC 成 的角，‎ 则线段 PA 长的取值范围是（ ）‎ C． 30o D． 30o 或330o ‎3、榫卯（sŭn măo）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在 ‎A． (0, 2 )‎ ‎2‎ x2 y 2‎ ‎B． (0, 6 )‎ ‎3‎ ‎‎ C． (‎ ‎2 , 2 )‎ ‎2‎ ‎‎ D． (‎ ‎6 , 2 )‎ ‎3‎ 两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的 北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到 ‎10、椭圆 M : + a2 b2‎ ‎= 1(a > b > 0) 左右焦点分别为 为椭圆 上任一点且 最大值 了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其 ‎取值范围是[2c2 , 3c2 ] ，其中 ，则椭圆离心率 取值范围（ ）‎ 体积为（‎ ‎）‎ A．21‎ C．23.5‎ B．22.5‎ D．25‎ A．[‎ ‎2 ,1)‎ ‎B．[ 3 , 2 ]‎ ‎‎ C．[‎ ‎3 ,1)‎ ‎D．[ 1 , 1 )‎ ‎2 3 2 3 3 2‎ ‎4、“a=1”是直线 l1 : ax - y + 3 = 0与l2 : 2x -（a + 1) y + 4 = 0 互相平行的（ ）‎ ‎11、已知平面 ABCD ^ 平面 ADEF，AB ^ AD，CD ^ AD，且 AB = 1，AD = CD = 2。ADEF 是正方 形，在正方形 ADEF 内部有一点 M，使 MB 与平面 ADEF 所成的角a和 MC 与平面 ADEF A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎所成的角 b之间满足 tan b = 2 tana ‎则点 的轨迹长度为（ ）‎ ‎1 4‎ C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎A．1 B．2 C． D． p ‎2 9‎ ‎5、过定点 A(2，-2)作圆 x2 + y 2 + 2ax + 4 y + 2a2 = 0 的切线有 2 条，则 a 的取值范围为（ ）‎ ‎12、已知关于 x 的方程 x3‎ ‎+ ax 2‎ ‎+ bx + c = 0 的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一 A． a < -2‎ ‎‎ B. a > 0‎ ‎C. a > 0或a < -2‎ ‎‎ D. 0 < a < 2‎ ‎‎ 个双曲线的离心率，则 的取值范围（ ）‎ ‎2 2 2 2‎ x y ‎6、椭圆 + a2 b2‎ ‎= m(m > 0)和 x + y a2 b2‎ ‎= n(n > 0) (m ¹ n) 具有（ ）‎ ‎‎ A． (-1, 0)‎ ‎‎ B． (-1, - 1 )‎ ‎2‎ ‎‎ C． (-2, - 1 )‎ ‎2‎ ‎‎ D． (-2, +¥)‎ A．相同的长轴长 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的顶点 ‎7、棱长均相等的三棱柱ABC - A1B1C1 中，AA1‎ 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）‎ ‎1 3‎ A． B．‎ ‎10 5‎ ‎^ 平面 ABC，M，N 分别是A1B1 ，A1C1 的中点，‎ ‎7 4‎ C． D．‎ ‎10 5‎ ‎‎ ‎14 、 经 过 直 线 l1 : x - y + 1 = 0 与 l2 : 2x + y -1 = 0 的 交 点 A 且 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 圆 ‎20、（本小题满分 12 分）在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， EF // AB ， DE = EF = 1 ，‎ C: ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1 相交于 M，N 两点，则 AM g AN = ．‎ ‎DC = BF = 2 ， ÐEAD = ‎30o ．‎ x y ‎15、设双曲线 - a2 b2‎ ‎‎ = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F，过点 F 作与 X 轴垂直的直线交两渐近线于 A，‎ uuuv uuuv uuuv ‎（Ⅰ）求证： AE ^ 平面 CDEF ；‎ ‎（Ⅱ）在线段 BD 上确定一点 G ，使得平面 EAD 与平面 FAG 所成的角为 30o ．‎ B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 OP = lOA + mOB，‎ lm= 1 (l, mÎ R) 则双曲线离心率 e 的值为 ．‎ ‎9‎ ‎16、已知正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ，此时四面 体 ABCD 外接球的体积为 ．‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎‎ ‎21、（本小题满分12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点， AE ^ BD 于 E ，延长AE交BC于F，将 D ABD沿BD折起，使平面ABD ^ 平面BCD，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；‎ ‎17、（本小题满分 10 分）已知命题 p :函数 f ( x) = ‎ax2 + (a - 3) x + 1 的值域为[0, +¥) ；命题 ‎（Ⅱ）求二面角 A–DC –B 的余弦值．‎ q : "m Î [-1,1] ，不等式 a2 - 5a - 3 ³ 为假命题，求实数 a 的取值范围．‎ ‎‎ m2 + 8 恒成立，如果命题“ p Ú q ”为真命题，且“ p Ù q ”‎ ‎（Ⅲ）在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ？若存在，请指明点 M 的位置；若不存在， 请说明理由． A ‎18、（本小题满分 12 分）如图，C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A，B 的点，平面 PAC⊥平面 ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别 是 PC，PB 的中点，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线 l⊥平面 PAC；‎ ‎D E B F C 图 1 图 2‎ x2 y 2‎ ‎（Ⅱ）直线 l 上是否存在点 Q，使直线 PQ 分别与平面 AEF、直线 EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22、（本小题满分 12 分）已知 分别为椭圆 C : + ‎3 2‎ 上．‎ ‎= 1 的 左、右焦点，点 在椭圆 C ‎19、（本小题满分 12 分） 已知 A, B 分别为椭圆 C ： x ‎‎ y 2‎ + = 1 的左、右顶点， P 为椭圆 C 上异于 ‎（Ⅰ）求 的最小值；‎ uuur uuuur ‎（Ⅱ）若且 PF1 × F1F2 = 0 ，已知直线 l : y = k ( x + 1) 与椭圆 C 交于两点 A、B，过点 P 且平行 ‎4 2‎ A, B 两点的任意一点，直线 PA, PB 的斜率分别记为 k1 , k2 ．‎ ‎（Ⅰ）求 k1 × k2 ；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点 O 作与直线 PA, PB 平行的两条射线分别交椭圆 C 于 点 M , N ，问： DMON 的面积是否为定值？请说明理由．‎ ‎于直线 l 的直线交椭圆 C 于另一点 Q，问：四边形 PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求 出直线 的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎2017年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B A D C C A B B B C ‎12【解答】C解：令f（x）=x3+ax2+bx+c ‎∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一个实根∴a+b+c=﹣1‎ ‎∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣1）[x2+（a+1）x+1+a+b]设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x1＜1，x2＞1∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0‎ 作出可行域，如图所示的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，∴‎ 故答案为：C 二．填空题 ‎13． 5 14． 7 15． 16．‎ 三．解答题 ‎17解答：P：因为的值域为， 所以的值可以取一切非负数。 -----------------------1‎ 当 -----------------------2‎ 当 解得 -------4‎ 所以的范围为 -----------------------------------5‎ Q: -----------------6‎ P真q假 -----------------7‎ P假 q 真-------------------------------------------9‎ 所以 ------------------------------10‎ ‎18．（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，‎ 又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，‎ 又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，‎ 又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，‎ ‎∴l⊥面PAC． -----------------------------------------------------------------4‎ ‎（Ⅱ）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），‎ E（），F（），，，-----6‎ 设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，‎ 则，取z=，得，，----8‎ ‎|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，‎ 依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|， --------9‎ ‎∴y=±1． --------11‎ ‎∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1． -------------12‎ ‎19题解：（Ⅰ）设，则；----3‎ ‎（Ⅱ）由题知，直线，直线，设，‎ 则，--------------6‎ 由，同理可得，故有 ‎，---------------------10‎ 又，故，. ----------------------------12‎ ‎20题解：（Ⅰ）四边形是正方形，‎ ‎.‎ 在中，，即 P ‎，即． ………………… 2分 在梯形中，过点E作EP//BF，交AB于点P.‎ ‎∵EF//AB,∴EP=BF=2.，PB=EF=1，‎ ‎∴AP=AB-PB=1‎ 在中，可求，‎ ‎∴‎ ‎∴. .………………………………………… 4分 ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴平面. ……………………………… 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，又，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面 .…………………6分 如图，过作平面的垂线，‎ 以点为坐标原点，所在直线分别 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，． ……………7分 设，，则.‎ 设平面的一个法向量则，，‎ 即令 ，得 ‎……………………………………………………………9分 易知平面的一个法向量. ………………………………………10分 由已知得，‎ 化简得，‎ ‎． ……………………………………………………………………………11分 ‎∴当点满足时，平面与平面所成角的大小为.………12分 ‎ ‎21题解（Ⅰ）因为平面平面，交线为，‎ 又在中，于，平面 ‎ 所以平面 . --------------------------------------3分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）结论平面可得.‎ 由题意可知，又.‎ 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 ‎ --------------------------4分 ‎ 不妨设，则.‎ ‎ 由图1条件计算得，，，‎ ‎ 则-------5分 ‎ .‎ ‎ 由平面可知平面DCB的法向量为. -----------------------------------6分 ‎ 设平面的法向量为，则 ‎ 即 ‎ 令，则，所以.------------------------------------8分 ‎ 平面DCB的法向量为 ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为 ------------------------------9分 ‎（Ⅲ）设，其中.由于，‎ 所以，其中 --------------------------10分 所以 ‎ 由，即解得. ----------11分 所以在线段上存在点使，且.-------------12分 ‎22题解析（Ⅰ）由题意可知，,‎ ‎ ‎ 点是椭圆上，，即 ，且 ‎ 最小值1. ----------------------------5‎ ‎（Ⅱ） ‎ 设.‎ 由得，，‎ ， ----------------------------6‎ ，‎ ----------------------7‎ 直线的方程为. ‎ 由得，，‎ ，， - ----------9‎ 若四边形能成为平行四边形，则， -----------------10‎ ，解得. ------------11‎ 符合条件的直线的方程为，即. ----------------12‎