专题71+极坐标系与简单曲线的极坐标方程（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习 31页

‎【学习目标】‎ ‎1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.‎ ‎【高考模拟】‎ ‎1．在直角坐标系中，直线过定点且与直线垂直．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎(2)设直线与曲线交于二点，求的值．‎ ‎【答案】(1) ， (为参数)．(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用极坐标公式求曲线C的直角坐标方程，利用直线的参数方程写出直线l的参数方程.(2)利用直线参数方程t的几何意义求的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(2)设对应的参数分别为 ‎ 将直线与曲线的方程联立得 ‎ 则是的二根 则 ‎ 故同正 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查直线的参数方程，考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.‎ ‎2．在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；‎ ‎（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得 将代入，整理得曲线的普通方程为， ‎ 设曲线上的点为，变换后的点为 由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得 曲线的普通方程为 ，‎ 曲线的参数方程为(为参数). ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.‎ ‎3．在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；‎ ‎（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得 将代入，整理得曲线的普通方程为， ‎ 设曲线上的点为，变换后的点为 由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得 曲线的普通方程为 ，‎ 曲线的参数方程为(为参数). ‎ ‎（2）设四边形的周长为，设点，‎ ‎ ，‎ 且，， ‎ ‎ ，‎ ‎ ． ‎ 且当时，取最大值，此时，‎ 所以，，，此时.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.‎ ‎4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．与交于两点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，求的值．‎ ‎【答案】⑴：，：；⑵‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）点P（0，﹣2）在l上，l的参数方程为为（t为参数），代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．‎ ‎【详解】‎ ‎⑴曲线的普通方程为：‎ 直线的直角坐标方程：‎ ‎⑵点在上,的参数方程为（为参数）代入：整理得：‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎5．在平面直角坐标系中， 的参数方程为（为参数， ），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；‎ ‎（Ⅱ）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可将的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆 将代入整理得，因为，所以，利用韦达定理求解即可 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得，所以 将代入得，即，所以的直角坐标方程为，表示以为圆心、为半径的圆.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及长度的运算，只要按照公式代入即可求出结果，较为基础。‎ ‎6．在平面直角坐标系xoy中，圆O的参数方程为（为参数）．过点（）且倾斜角为的直线与圆O交于A、B两点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ ‎【答案】（1）(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．‎ ‎（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆O的直角坐标方程为:,当时,与圆O交于两点,‎ 当时,设,则的方程为:与圆O交于两点当且仅当 解得:或,即或，‎ ‎.‎ ‎(2)的参数方程为:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎7．（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.‎ ‎（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.‎ ‎【答案】（1）；；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由矩阵运算，代入可求得或，即求得另一个特征值。（2）由直角坐标与极坐标互换公式，实现直角坐标与极坐标的相互转化。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：，， ‎ 矩阵的特征多项式为，‎ 令，得，解得或 所以矩阵的另一个特征值为 ‎ ‎【点睛】‎ 直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。‎ ‎8．在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为，以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为点.‎ ‎（1）求直线的参数方程； ‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）为参数)； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的倾斜角，和特殊点得到直线的参数方程即可；（2）联立直线的参数方程和抛物线方程，得到关于t的二次方程，由得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件知，直线的倾斜角，则为参数).‎ ‎（2）曲线C的直角坐标方程为，的参数方程代入得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了参数方程化的写法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．‎ ‎（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．‎ ‎【答案】（1）, ； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数t，求出直线l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程, 曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ,根据极坐标化直角坐标的公式得到直角坐标方程;（2）求出曲线C的直角坐标方程，从而求出直线l与曲线C交点的直角坐标，由此能求出直线l与曲线C交点的极坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l的参数方程为参数），消去参数t化为，‎ 把代入即可得出直线的极坐标方程为.‎ 由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ，‎ 可得曲线C的直角坐标方程为.‎ ‎（2）联立，解得或，‎ 所以与交点的极坐标为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线交点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.‎ ‎10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点且倾斜角为.‎ ‎(I)求曲线C的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎(II)设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)， (t为参数)；(Ⅱ)7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为 ‎，利用直线参数方程的公式可得参数方程为(t为参数)；‎ ‎（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的一般方程，结合直线参数方程的几何意义可得的值为7.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅱ）将为参数）代入圆的方程，‎ 得，‎ 整理得，得，所以 所以．‎ ‎【点睛】‎ 直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化.‎ ‎11．在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ 写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；‎ 设，分别与曲线C交于点A，非坐标原点，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查直线，参数方程与极坐标方程的互化，曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，重点都是消去参数 利用，极坐标方程，结合余弦定理，计算出的长度 ‎【详解】‎ ‎，的极坐标方程为，．‎ 曲线C的极坐标方程方程为即得，‎ 利用，‎ 得曲线C的直角坐标方程为．‎ 因为，，‎ 所以 ‎，‎ 所以的值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与参数方程，普通方程的互化，记准互化公式和原则是解题的关键，属于中档题目。‎ ‎12．在平面直角坐标系中， 的参数方程为（为参数， ），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；‎ ‎（Ⅱ）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可将的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆 将代入整理得，因为，所以，利用韦达定理求解即可 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及长度的运算，只要按照公式代入即可求出结果，较为基础。‎ ‎13．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)分别写出曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点为曲线上的一动点，点为曲线上的一动点，求的最小值.‎ ‎【答案】⑴：；：；⑵‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数平方关系进行消参，求得曲线的普通方程，根据极坐标和直角坐标互化公式求解，即可得到曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）利用已知，曲线是以为圆心，半径为的圆，得到，借助于三角函数的取值情况进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，以及有关距离的最值的求解问题，正确应用相关的公式是解题的关键. ‎ ‎14．在直角坐标系中，圆的方程为 ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且具有相同单位长建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程为（其中为参数），若直线与交于两点，求中点到的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把圆的标准方程化为一般方程，由此利用，即可求出的极坐标方程；（Ⅱ）根据直线的参数方程可得当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入到圆，设对应的参数为，根据韦达定理，即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由圆的方程为知：‎ 是圆的极坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程为，当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入圆：得 ，设对应的参数为.‎ ‎ 中点对应的参数为 ‎【点睛】‎ 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式），先去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程转化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题. ‎ ‎15．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：．‎ 若曲线，参数方程为：为参数，求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程 Ⅱ若曲线，参数方程为 为参数，，且曲线，与曲线交点分别为P，Q，求的取值范围，‎ ‎【答案】（1）．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线C 的极坐标方程为：可得，利用极坐标与直角坐标的互化即可得出直角坐标方程曲线，参数方程为：为参数，利用即可得出普通方程．‎ 将的参数方程：为参数，代入的方程得：，，，可得，由，，可得与同号，可得，由的几何意义可得：即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 将的参数方程：为参数，‎ 代入的方程得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 与同号，‎ ‎，‎ 由的几何意义可得：‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程代为极坐标方程.‎ ‎（2）将代入得，设两点的极坐标方程分别为，则是方程的两根，利用求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（2）设两点的极坐标方程分别为，‎ 由消去得，‎ 根据题意可得是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与普通方程的互化，极坐标的几何意义，属于中档题.‎ ‎17．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线被截得的弦长．‎ ‎【答案】(1) 的参数方程为（为参数）;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据圆的极坐标方程，先转化为圆的直角坐标方程；再根据参数方程与直角坐标的关系，求得圆的参数方程。‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离与垂径定理求得弦长。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为的极坐标方程为，‎ 所以的直角坐标方程为，即，‎ 所以的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅱ）因为直线的参数方程为（为参数），‎ 所以直线的普通方程为，所以圆心到直线的距离，‎ 所以直线被截得的弦长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的关系，点到直线距离与垂径定理的简单应用，属于中档题。‎ ‎18．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标中,已知圆被直线截得的弦长为,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先求得圆心的极坐标为，然后根据弦长求出圆的半径，最后根据圆在极坐标系中的特点求出圆的极坐标方程．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎19．已知直线过点P（2，1），倾斜角为1350，以原点O为极点，轴正半轴为极轴（长度单位与直角坐标系的长度单位相同）建立极坐标系，圆C的方程为，‎ ‎（1）分别写出圆C的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设圆C与直线交于点A，B，求｜PA|+｜PB｜.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线过定点与倾斜角可写出直线参数方程，由直角坐标与极坐标互换公式可写出圆C的直角坐标方程。（2）直线的参数方程代入圆的方程，由韦达定理与可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的参方为：，‎ 圆C的直角坐标方程为：‎ ‎（2）将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程中得：‎ 化简得： ，‎ 故，‎ 由参数的几何意义得：.‎ ‎【点睛】‎ 由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。‎ ‎20．已知直线的参数方程为（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程可得，满足题意时，二次方程的判别式，据此计算可得直线的倾斜角或.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，即，‎ 此即为曲线的直角坐标方程.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的参数方程的应用，极坐标方程转换为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. ‎ ‎21．已知直线过点P（2，1），倾斜角为1350，以原点O为极点，轴正半轴为极轴（长度单位与直角坐标系的长度单位相同）建立极坐标系，圆C的方程为，‎ ‎（1）分别写出圆C的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设圆C与直线交于点A，B，求｜PA|+｜PB｜.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线过定点与倾斜角可写出直线参数方程，由直角坐标与极坐标互换公式可写出圆C的直角坐标方程。（2）直线的参数方程代入圆的方程，由韦达定理与可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的参方为：，‎ 圆C的直角坐标方程为：‎ ‎【点睛】‎ 由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。‎ ‎22．在直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2)4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）联立直线的参数方程与C的直角坐标方程可得，则，结合三角函数的性质可知.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入得到.‎ 设，两点对应的参数分别为，，‎ 则，.‎ ‎∴ ，‎ 当时取到等号.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23．在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.‎ ‎【答案】(1)；(2)1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 参数方程化为普通方程可得圆的普通方程为.‎ 圆的极坐标方程得，联立极坐标方程可得，，结合极坐标的几何意义可得线段 的长为1.‎ ‎【详解】‎ 圆的参数方程为 消去参数可得圆的普通方程为.‎ 化圆的普通方程为极坐标方程得，‎ 设,则由解得，，‎ 设,则由解得，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程与普通方程的应用，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎24．在极标坐系中，已知圆的圆心，半径 ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0（2）[2，2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）极坐标化为直角坐标可得C（1，1），则圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 .‎ ‎（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．结合题意和直线参数的几何意义讨论可得弦长|AB|的取值范围是[2，2）.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵C（，）的直角坐标为（1，1），‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．‎ 化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 .‎ ‎（2）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，‎ 得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，‎ 即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．‎ ‎∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==2．‎ ‎∵α∈[0，），∴2α∈[0，），‎ ‎∴2≤|AB|＜2．‎ 即弦长|AB|的取值范围是[2，2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. ‎ ‎25．已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．‎ ‎（1）求α的大小；‎ ‎（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果．‎ ‎（2）直接利用关系式求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（2）直接利用关系式，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎26．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；；‎ ‎(Ⅱ)已知点为直线上的两个动点，且点为曲线上任意一点，求面积的最大值及此时点的直角坐标．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由参数方程利用消去，得到普通方程，由把极坐标化为普通方程。 (Ⅱ) 设点，由点到直线的距离和面积公式结合三角函数求得面积最值。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。‎ ‎27．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（1）求直线l和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线l和曲线交于两点，求．‎ ‎【答案】（1）和；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的极坐标方程为，利用互化公式，能求出直线的普通方程，曲线的参数方程利用代入法消去参数能求出曲线的普通方程；（2）点的直角坐标为，点在直线上，求出直线的参数方程，得到，由此利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，能求出的值. ‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，属于简单题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可 ‎28．选修:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线的方程是 ‎，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ) 求直线和圆的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ) 已知射线(其中)与圆交于，射线与直线交于点，‎ 若，求的值.‎ ‎【答案】（1），.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入分别求出直线和圆的极坐标方程 解得，，然后代入求解 ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)将代入直线的直角坐标方程，‎ 得,即. ‎ 圆的直角坐标方程为，所以圆的极坐标方程为 ‎ ‎(Ⅱ)由题意得 ‎ 则，解得，又因为，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程与曲线方程的普通方程转化为极坐标方程，以及直线和曲线的位置关系，只要按照法则代入即可求出结果，在求解长度时运用参量计算较为简单。‎ ‎29．已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点，点，‎ ‎（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程。由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程。（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。‎ ‎30．已知在直角坐标系中, 直线的参数方程为是为参数）, 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1) 判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎(2) 在曲线上求一点,使得它到直线的距离最大,并求出最大距离.‎ ‎【答案】(1) 相离；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线参数方程化为普通方程，曲线极坐标方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，然后与半径比较大小即可作出判断. ‎ 圆上一点到直线的距离最大为，求出过圆心与直线垂直的直线方程，与圆的方程联立确定出此时的坐标即可 ‎【详解】‎ ‎(1)易得直线的方程为,曲线的方程为,圆心,半径,圆心到直线的距离, 所以直线与曲线相离.‎ ‎(2)易得点到直线的最大距离为, ‎ 过圆心且垂直于直线的直线方程为, 联立, ‎ 所以, 易得点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了将参数方程和极坐标方程转化为普通方程，然后判断直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离即可作出判断，属于基础题