数学卷·2018届江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试卷（解析版） 14页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江苏省扬州市邗江中学高二（上））期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎1．直线x+y+1=0的倾斜角是　　．‎ ‎2．若直线l1：x+y﹣2=0与直线l2：ax﹣y+7=0平行，则a=　　．‎ ‎3．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为　　．‎ ‎4．（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为　　．‎ ‎5．当函数f（x）=取到极值时，实数x的值为　　．‎ ‎6．抛物线y=3x2的准线方程是　　．‎ ‎7．若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为　　．‎ ‎8．已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的距离为　　．‎ ‎9．过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为　　．‎ ‎10．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是　　．‎ ‎11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　　米．‎ ‎12．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是　　．‎ ‎13．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为　　．‎ ‎14．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，），则e的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．‎ ‎（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；‎ ‎（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．‎ ‎16．△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点D（0，4）．‎ ‎（1）判断△ABC的形状；‎ ‎（2）求△ABC外接圆M的方程；‎ ‎（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2，求直线l的方程．‎ ‎17．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．‎ ‎18．（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．‎ ‎（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；‎ ‎（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．‎ ‎20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．‎ ‎（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；‎ ‎（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；‎ ‎（3）若函数y=g（x）在x∈（，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省扬州市邗江中学高二（上））期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎1．直线x+y+1=0的倾斜角是　135°　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．‎ ‎【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，‎ ‎∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．‎ 故答案为：135°．‎ ‎　‎ ‎2．若直线l1：x+y﹣2=0与直线l2：ax﹣y+7=0平行，则a=　﹣1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的平行条件，求出a的值．‎ ‎【解答】解：由题意得，直线l1：x+y﹣2=0的斜率是﹣1，直线l2：ax﹣y+7=0平行的斜率是a，‎ 因为直线l1与直线l2平行，所以a=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎3．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为　2x+y+1=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．‎ ‎【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0‎ ‎∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1‎ ‎∴所求直线方程为2x+y+1=0．‎ 故答案为：2x+y+1=0．‎ ‎　‎ ‎4．（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为　9　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，‎ ‎∴f（2）=2×2+3=4+3=7，‎ 切线的斜率k=2，即f′（2）=2，‎ 则f（2）+f′（2）=7+2=9，‎ 故答案为：9‎ ‎　‎ ‎5．当函数f（x）=取到极值时，实数x的值为　1　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出x的值即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）==，‎ 令f′（x）=0，解得：x=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎6．抛物线y=3x2的准线方程是　y=﹣　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=3x2，即x2=y的准线方程是：y=﹣．‎ 故答案为：y=﹣．‎ ‎　‎ ‎7．若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据双曲线C的渐近线方程，设出双曲线的方程，代入点（2，2），即可求得C的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意，∵双曲线C的渐近线方程为y=±2x，‎ ‎∴设双曲线C的方程为y2﹣4x2=λ ‎∵双曲线C经过点（2，2），‎ ‎∴8﹣16=λ ‎∴λ=﹣8‎ ‎∴双曲线C的方程为y2﹣4x2=﹣8，即 故答案为：‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的距离为　10　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=4，设|MF1|=2，运用双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，计算即可得到所求距离．‎ ‎【解答】解：双曲线y2﹣4x2=16即为 ‎﹣=1，‎ 可得a=4，‎ 设双曲线的两焦点为F1，F2，‎ 由题意可设|MF1|=2，‎ 由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，‎ 即有|2﹣|MF2||=8，‎ 解得|MF2|=10或﹣6（舍去）．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎9．过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为　　．‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程，找出圆心坐标和半径，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．‎ ‎【解答】解：（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标A（1，0），半径|AN|=1，‎ 又M（3，0）∴|AM|=2，‎ 则切线长|MN|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是　外切　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，与半径和与差的关系判断即可．‎ ‎【解答】解：由于 圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0，即 （x+1）2+（y+1）2=4，‎ 表示以C1（﹣1，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．‎ 圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0，即 （x﹣3）2+（y+1）2=4，‎ 表示以C2（3，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．‎ 由于两圆的圆心距等于4，等于半径之和，故两个圆外切．‎ 故答案为外切．‎ ‎　‎ ‎11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　2　米．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，‎ 将A（2，﹣2）代入x2=my，‎ 得m=﹣2‎ ‎∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，‎ 故水面宽为2m．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是　（0，1]　．‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】求出函数的导数，问题转化为ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴f'（x）=，‎ ‎∵f（x）为R上的单调增函数，‎ ‎∴f'（x）≥0在R上恒成立，‎ 又∵a为正实数，‎ ‎∴f'（x）≥0在R上恒成立，‎ ‎∴ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，‎ ‎∴△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，解得0≤a≤1，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴0＜a≤1，‎ ‎∴a的取值范围为0＜a≤1，‎ 故答案为：（0，1]．‎ ‎　‎ ‎13．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为　（﹣∞，]　．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（3x）≥g（1），最后利用单调性解不等式即可 ‎【解答】解：∵f′（x）＜2x+1，‎ ‎∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，‎ 即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0‎ 设g（x）=f（x）﹣（x2+x）‎ 则g（x）在R上为减函数，‎ ‎∵f（1）=3，‎ ‎∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1‎ ‎∵f（3x）≥9x2+3x+1=（3x）2+3x+1，‎ ‎∴f（3x）﹣[（3x）2+3x]≥1，‎ ‎∴g（3x）≥1=g（1）‎ ‎∴3x≤1，‎ 解得x≤，‎ 故不等式的解集为（﹣∞，]‎ 故答案：（﹣∞，]‎ ‎　‎ ‎14．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，），则e的取值范围是　[﹣1，1）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：|F1C|=|CO|=，由|CM|=|CN|．原点O在以线段MN为直径的圆上，则|OA|=|OB|=c=1．由椭圆的性质，可知，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0＜k≤，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，记线段MN与x轴交点为C，‎ 由AF1的中点为M，BF1的中点为N，‎ ‎∴MN∥AB，|F1C|=|CO|=，‎ ‎∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，‎ ‎∴|CM|=|CN|．‎ ‎∵原点O在以线段MN为直径的圆上，‎ ‎∴|CO|=|CM|=|CN|=．‎ ‎∴|OA|=|OB|=c=1．‎ ‎∵|OA|＞b，‎ ‎∴a2=b2+c2＜2c2，‎ ‎∴e=＞．‎ 设A（x，y），‎ 由，‎ 解得：．‎ AB的倾斜角α∈（0，），‎ ‎∴直线AB斜率为0＜k≤，‎ ‎∴0＜≤3，‎ ‎∴1﹣≤a2≤1+，‎ 即为≤a≤，‎ ‎∴e==∈[﹣1， +1]，‎ 由于0＜e＜1，‎ ‎∴离心率e的取值范围为[﹣1，1）．‎ 故答案为：[﹣1，1）．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．‎ ‎（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；‎ ‎（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．由点P（﹣2，0）在双曲线上，可得a=2．利用=，可得c．利用c2=a2+b2，可得b．即可得出方程及其渐近线方程．‎ ‎（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），可得直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．即可得出相应的抛物线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．‎ ‎∵点P（﹣2，0）在双曲线上，∴a=2．‎ ‎∵双曲线C的离心率为，∴c=2．‎ ‎∵c2=a2+b2，∴b=2．‎ ‎∴双曲线的方程为：﹣=1，‎ 其渐近线方程为：y=±x．‎ ‎（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），即y=2x+4，‎ 直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．‎ ‎∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣8x；‎ 以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=16y．‎ ‎　‎ ‎16．△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点D（0，4）．‎ ‎（1）判断△ABC的形状；‎ ‎（2）求△ABC外接圆M的方程；‎ ‎（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据点的坐标分别求得AC，BC的斜率判断出两直线垂直，进而判断出三角形为直角三角形．‎ ‎（2）先确定圆心，进而利用两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可得．‎ ‎（3）先看直线斜率不存在时判断是否符合，进而看斜率存在时设出直线的方程，利用圆心到直线的距离求得k，则直线的方程可得．‎ ‎【解答】解：（1）因为A（1，0），B（1，4），C（3，2），所以kAC=1，kBC=﹣1，‎ 所以CA⊥CB，又CA=CB=2，所以△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎（2）由（1）可知，⊙M的圆心是AB的中点，所以M（1，2），半径为2，‎ 所以⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．‎ ‎（3）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2时，‎ 圆心到直线的距离为=1．‎ ‎①当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它与圆心M（1，2）的距离为1，满足条件；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，因为圆心到直线y=kx+4的距离为=1，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣16=0．‎ 综上可知，直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．‎ ‎　‎ ‎17．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的性质可知c=1，准线方程x==4，即可求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b的值，代入即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）由两点间的距离公式可知，根据二次函数的图象及简单性质，分类即可求得 m的值及点N的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，…‎ 由题意得：，‎ 解得：，…‎ ‎∴b2=3，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；…‎ ‎（2）设N（x，y），则，‎ 对称轴：x=4m，﹣2≤x≤2…‎ ‎①当0＜4m≤2即，x=4m时，‎ ‎，‎ 解得：，不符合题意，舍去； …‎ ‎②当4m＞2，即，x=2时，‎ ‎，‎ 解得：m=1或m=3；‎ ‎∵，‎ ‎∴m=1； …‎ 综上：m=1，N（2，0）； …‎ ‎　‎ ‎18．（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．‎ ‎（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；‎ ‎（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，‎ 令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，‎ x ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ ‎3‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎↘‎ ‎2﹣2ln2‎ ‎↗‎ ‎3﹣2ln3‎ 从上表可知，‎ ‎∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），‎ 函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2；‎ ‎（2），‎ ‎①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；‎ ‎②当a=2时，∵，‎ ‎∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；‎ ‎③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；‎ 综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；‎ 当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；‎ 当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知，所以a2=4b2，由此可知椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由题设得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是： ．‎ ‎（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．由此入手可知直线ME与x轴相交于定点（1，0）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，‎ 所以，即a2=4b2，∴a=2b 又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．‎ 由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①‎ 由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴‎ 又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是： ．‎ ‎（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．‎ 直线ME的方程为．令y=0，得．‎ 将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②‎ 由①得，代入②整理，得x=1．‎ 所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．‎ ‎　‎ ‎20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．‎ ‎（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；‎ ‎（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；‎ ‎（3）若函数y=g（x）在x∈（，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）把m=1代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可求；‎ ‎（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；‎ ‎（3）根据函数的单调性得到函数y=g（x）在x∈（，+∞）上有两个极值点的m的范围，由a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a，b的范围，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求导得到g（b）的取值范围，进一步求得{g（a）}（或{g（b）}），则答案可求．‎ ‎【解答】解：（1）函数y=g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，g′（x）=2x﹣2+，k=g′（1）=1，‎ 则切线方程为y=x﹣1，‎ 故所求切线方程为x﹣y﹣1=0；‎ ‎（2）m=﹣12时，g（x）=）=x2﹣2x+1﹣12lnx，（x＞0），‎ g′（x）=2x﹣2﹣=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞3，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜3，‎ 故g（x）在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，‎ 故g（x）极小值=g（3）=4﹣12ln3；‎ ‎（3）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），‎ g′（x）=2x﹣2+=，‎ 令g′（x）=0并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0．‎ ‎①当△≤0，即m≥时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；‎ ‎②当△＞0且m＞0，即0＜m＜时，函数g（x）的增区间为（0，），（，+∞）；‎ ‎③当△＞0且m≤0，即m≤0时，函数g（x）的增区间为（，+∞）；‎ 故得0＜m＜时，a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根，＜b＜，＜a＜，‎ 又由2b2﹣2b+m=0，得m=﹣2b2+2b，‎ ‎∴g（b）=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+（﹣2b2+2b）lnb，b∈（，），‎ g′（b）=2b﹣2+（﹣4b+2）lnb+2﹣2b=﹣4（b﹣）lnb，‎ 当b∈（，）时，g′（b）＞0，即函数g（b）是（，）上的增函数．‎ 故g（b）的取值范围是（，），则{g（b）}=0．‎ 同理可求得g（a）的取值范围是（，），则{g（a）}=0或{g（a）}=1．‎ ‎∴{g（a）}﹣{g（b）}=0或1．‎ ‎　‎