高一数学教案第5讲：反函数与对数函数 7页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 反函数与对数函数 教学内容 ‎1.理解反函数的概念，掌握反函数与原函数之间的关系；‎ ‎2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质.‎ 画出下列每组函数的图像，你能发现什么？‎ ‎1. y=x-1和y=x+1‎ ‎2. y=2x+2和 ‎3. 和 每一组的两个函数，都是把x，y互换了位置，他们的图像关于直线y=x是对称的。‎ 教师通过学生的预习，引导学生理解他们的练习从而引出反函数定义 反函数：一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在 中总有唯一确定的值与它相对应，使，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作.在习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以把它改写为.‎ 从反函数的概念可知：函数反函数的反函数正好是它的本身.函数的定义域正好是它反函数的值域；反之，函数的值域也是它反函数的定义域.‎ 由反函数的概念，可知函数与指数函数互为反函数.‎ 对数函数：一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.‎ 画出对数函数图像，它好指数函数图像有什么关系？‎ 教师注意提示学生分类（），可以借助指数函数图像来画对数函数图像 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 求下列函数的反函数，‎ （1） ‎ （2）‎ 解：（1）由，得，将与互换，得.‎ 所以，函数的反函数是.‎ ‎（2）由，得.‎ 当时，，‎ 将与互换，得，‎ 所以，函数的反函数是.‎ 让学生试着总结求反函数的步骤方法：‎ （1） 求出值域；‎ （1） 将看作方程，解出；（注：有一个判断过程）‎ （2） 将互换，得到.‎ 试一试：‎ 求的反函数.‎ 解：，‎ 由得，‎ ‎，将与互换，得，‎ 所以的反函数为 例2. 函数的定义域是 ‎ 因为即， 所以函数的定义域为.‎ 试一试：求下列函数的定义域:‎ ‎（1） （2）‎ ‎（1）因为，即，所以函数的定义域是.‎ ‎（2）因为，即，所以函数的定义域是.‎ 例3. 若函数的定义域为，则的取值范围是 .‎ 解：当时，满足题意；当时，有，解得，‎ 所以的取值范围是．‎ 如果值域为R又会怎样？教师根据学生的接受情况适当拓展 试一试：函数的值域是 . ‎ 例4：直接写出下列函数的单调递增区间 ‎1．‎ ‎2．‎ 答案：‎ 可以引导学生画图像分析 试一试：直接写出下列函数的单调递增区间 ‎1． 2．‎ 答案：‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ 1. 求的反函数.‎ 解：∵，其值域为，‎ 由，得，即，‎ 将与互换，得，‎ 所以的反函数为.‎ ‎2. 求下列函数的定义域:‎ ‎(1)，其中； (2)，.‎ 解：（1）因为， 所以函数的定义域为.‎ ‎（2）因为，即，所以函数的定义域是.‎ ‎3. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a= .‎ 答案：‎ ‎4. 函数的奇偶性是 .‎ 答案：奇函数 ‎5. 函数y=(-+2x)的递增区间是 .‎ 答案：‎ 附加题：已知函数.‎ ‎（1）判别函数的奇偶性，说明理由；‎ ‎（2）解不等式.‎ 解：（1）定义域 ‎ ‎ 所以是奇函数 ‎ ‎（2），， ‎ 或 ‎ 最后不等式的解集是 本节课主要知识点：反函数的概念和求解方法，对数函数的图像与性质 ‎1. 函数y=log(x2-5x+17)的值域为 。‎ ‎2. 函数y=lg(ax+1)的定义域为（-，1），则a= 。‎ ‎3. 若函数y=lg[x2+(k+2)x+]的定义域为R，则k的取值范围是 。‎ ‎4. 函数+2，若，则 .‎ ‎5. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数： ，，，则“同形”函数是（ ）‎ ‎ （A）．与 （B）．与 ‎ （C）．与 （D）．与 ‎6. 已知函数，正实数m,n满足，且，若在区间上的最大值为2，则m、n的值分别为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 答案：‎ ‎1.(-) ∵x2-6x+17=(x-3)2+8,又y=log单调递减，∴ y ‎2.-1‎ ‎3.-‎ ‎ y=lg[x2+(k+2)x+]的定义域为R，∴ x2+(k+2)x+>0恒成立，则=（k+2）2-5<0,即k2+4k-1<0,由此解得--2