数学理卷·2018届山西省太原市高三模拟考试（一）（2018 10页

太原市2018年高三模拟试题（一）‎ 数学试卷（理工类）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． C. 3 D．2‎ ‎5. 已知等比数列中，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 函数的图像大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7. 已知不等式在平面区域上恒成立，若的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）‎ A． 4 B． 2 C. -4 D．-2‎ ‎8.已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. 2 D．4‎ ‎10.已知函数，若，在上具有单调性，那么的取值共有 （ ）‎ A． 6个 B． 7个 C. 8个 D．9个 ‎11.三棱锥中，底面为正三角形，若，则三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．‎ ‎13.在多项式的展开式中，的系数为___________．‎ ‎14.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率___________．‎ ‎15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．‎ ‎16.数列中，，若数列满足，则数列的最大项为第__________项．‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 的内角为的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若，当的面积最大时，的周长；‎ ‎18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：‎ 售出水量（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收入（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．‎ ‎（1）若与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？‎ ‎（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望；‎ 附：回归方程，其中．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若分别为的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．‎ ‎20.已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，已知直线与 相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程．‎ ‎21. ．‎ ‎（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；‎ ‎（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 120 14. 15. 16. 6‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由得：，‎ ‎，即，，；‎ 由，‎ 令，原式，‎ 当且仅当时，上式的最大值为．‎ ‎（2），即，当且仅当等号成立；，‎ 周长．‎ ‎18.解：（1），经计算，所以线性回归方程为，‎ 当时，的估计值为206元；‎ ‎（2）的可能取值为0，300，500，600，800，1000；‎ ‎；；；‎ ‎；；；‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎800‎ ‎1000‎ 所以的数学期望．‎ ‎19．解：（1）‎ 连接交于点，连接，∵底面是正方形，∴，‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面，∵平面，∴，‎ 又，∴；‎ ‎（2）‎ 设的中点为，连接，则，‎ 又，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，∴平面，‎ ‎∴，∵是的中点，∴，‎ ‎∵平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∴，‎ 又，∴平面，‎ 以为坐标原点，以为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∴，∵平面，∴为平面的一个法向量．‎ ‎∴，‎ 设直线与平面所成角为，则，‎ ‎∴直线与平面所成角为．‎ ‎20.解：（1），∴，由题目已知条件知，∴，所以；‎ ‎（2）由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则，‎ ‎∴，，∴，所以在定直线上．‎ 当不在椭圆顶点时，设，得，‎ 所以，‎ ‎，当时，得，‎ 所以显然成立，所以在定直线上．‎ ‎21.解：（1）设切点为，则 ①，‎ 和相切，则 ②，‎ 所以，‎ 即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且 ‎．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．‎ ‎（2）令，即，所以，‎ 令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，，‎ 当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；‎ 当时，，又，所以两个整数解为0，1，即，‎ 所以，即，‎ 当时，，因为在内大于或等于1，‎ 所以无整数解，舍去，综上，．‎ ‎22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中的几何意义．‎ 解：（1）的参数方程，消参得普通方程为，‎ 的极坐标方程为两边同乘得即；‎ ‎（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）代入曲线得，由，得，‎ 设对应的参数为，由题意得即或，‎ 当时，，解得，‎ 当时，解得，‎ 综上：或．‎ ‎23．考点：绝对值不等式 解：（1）当时，，‎ ‎①时，，解得；‎ ‎②当时，，解得；‎ ‎③当时，，解得；‎ 综合①②③可知，原不等式的解集为．‎ ‎（2）由题意可知在上恒成立，当时，，从而可得，即，且，，因此．‎