数学卷·2018届河南省郏县一高 叶县二高等五校高二上学期期中联考理科数学试卷（解析版） 14页

‎2016-2017学年河南省郏县一高,叶县二高等五校高二上学期期中联考理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查应用正弦定理解斜三角形、三角恒等变换.‎ 在△ABC中,由正弦定理，得 所以即 ‎ ‎ ‎2．在△ABC中,如果，那么角 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查余弦定理.‎ 由，得=‎ ‎=即所以 是三角形的内角，所以 ‎ ‎ ‎3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 ‎【答案】A ‎【解析】设三边增加的长度均为x,原三角形的三边长分别为a,b,c,且c2=a2+b2,a+b>c,新的三角形的三边长分别为a+x,b+x,c+x,显然c+x为最大边,其对应的角最大,而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0,则这个角为锐角,那么新的三角形为锐角三角形.‎ ‎ ‎ ‎4．关于三角形满足的条件，下列判断正确的是 A.，有两解 B.，有一解 C. ，有两解 D.，无解 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查正弦定理、三角形的边角关系、正弦函数的性质.‎ 对于A:在三角形ABC中，由正弦定理，排除A；对于B: 在三角形ABC中，由正弦定理得，, ∵, ∴ 只能为锐角，有一解，即B 选项正确.‎ ‎【备注】事实上，C: 在三角形ABC中，由正弦定理；D: 在三角形ABC中，由正弦定理得，, ∵, ∴‎ 则有两解，一锐角一钝角.‎ ‎ ‎ ‎5．在△ABC中,，则△ABC的周长为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换.‎ 在△ABC中,，由正弦定理得， ∴，==则△ABC的周长为====== ‎ ‎ ‎ ‎6．在各项均不为零的等差数列中，若，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查等差中项公式.‎ 得, 由等差中项公式得,‎ ‎，∴ 又所以 则 ‎ ‎ ‎7．若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有 A. B.个 C.个 D.个 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查不等关系与不等式.‎ 因为，所以,故,①不正确;‎ 由得所以，②正确；‎ 由得,③正确；‎ 由 得所以,④正确.‎ ‎ ‎ ‎8．若是和的等比中项，则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查等比中项公式、三角函数恒等变换、正弦函数的最大值、应用均值不等式或基本不等式求最大值.‎ 方法一：由是和的等比中项，得即,∵,∴.又 ‎1=, ∴‎ ‎===‎ ‎=,∵,∴,∴由故当且仅当时，取最大值为 方法二：由是和的等比中项，得即令，则 ‎==‎ 当且仅当时，取最大值为 ‎ ‎ ‎9．若a，b，c是常数，则“，且”是“对任意，有”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为a＞0，且对任意x∈R恒成立.反之，ax2＋bx＋c＞0对任意x∈R恒成立不能推出a＞0，且b2－4ac＜0，反例为：当a＝b＝0，且c＞0时也有ax2＋bx＋c＞0对任意x∈R恒成立，所以“a＞0，且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的充分不必要条件.‎ ‎ ‎ ‎10．下列四个命题：‎ ‎(1)“若，则实数均为” 的逆命题 ‎(2)“相似三角形的面积相等”的否命题 ‎(3)“，则” 逆否命题 ‎(4)“末位数不是的数可被整除”的逆否命题，其中真命题为 A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(3)(4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查四种命题及其关系、命题的真假.‎ 对于(1)：“若，则实数均为” 的逆命题是“若实数均为”为真命题；对于(2)：“相似三角形的面积相等”的否命题是“相似三角形的面积不都相等”为假命题；对于(3)：“，则” 是真命题，逆否命题与原命题同真同假，因此其逆否命题也是真命题；对于(4)：“末位数不是的数可被整除”为假命题，逆否命题与原命题同真同假，因此其逆否命题也是假命题.‎ ‎ ‎ ‎11．满足的△ABC恰有一个，则的取值范围是 A. B.‎ C. D.或 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查应用正弦定理解三角形，考查分类讨论的数学思想.‎ 已知两角和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦函数值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：‎ 当12时，三角形无解；‎ 当即12=即时，三角形有一解；‎ 当即即 时，三角形有二解；‎ 当即时，三角形有一解.‎ 综上，或时，三角形有一解.‎ ‎【备注】已知两边a, b和其中一边的对角A解三角形时，需对角的情况进行讨论：‎ 当A为锐角时，若a,则三角形无解；若 则三角形有一解；若 则三角形有两解；若 当A为钝角或直角时，若，则三角形无解；若则三角形有一解.‎ ‎ ‎ ‎12．锐角三角形△ABC中，若，则下列叙述正确的是 ‎①     ②     ③      ④‎ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查三角形的内角和定理、诱导公式、三角恒等变形.‎ 锐角三角形△ABC中，若，则 对于①①正确；‎ 对于②因为所以则 即 ②正确；‎ 对于③解得所以正确；‎ 则下列叙述正确的是①②③.‎ ‎【备注】事实上，对于④由正弦定理得，‎ 因为所以故④不正确.‎ ‎ ‎ 二、填空题：共4题 ‎13．等比数列的前项和为，则的值为 __________.‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】本题主要考查等比数列及其前n项和.‎ ‎ ，得 ‎ 则 ‎ ‎ ‎14．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c等差数列，，△ABC的面积为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查等差中项公式、三角形面积公式、余弦定理.‎ 由等差中项公式得，2b=a+c,①‎ 由三角形面积公式得，‎ 由余弦定理得，‎ 即 由①得 由 得 ‎ ‎ ‎15．命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查命题的否定及其真假判断、一元二次不等式.‎ 因为命题“恒成立”是假命题，所以其否命题“存在x”是真命题，即二次不等式有解，则或所以 即实数的取值范围是 ‎ ‎ ‎16．设满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划、均值不等式，考查“1”的代换，考查数形结合的数学思想.‎ 先画出可行域，如图四边形内部及边界，目标函数 即当动直线经过B点时，y截距 取最大值，即z取最大值, 由 依题意z的最大值为，∴,‎ 则 当且仅当时上式取等号，即的最小值为 三、解答题：共6题 ‎17．已知方程有两个不等的负根；方程无实根，若“”真“”为假，求的取值范围.‎ ‎【答案】若方程有两个不等的负根,则  解得，即，‎ 若方程无实根，则，解得：，‎ 即，因“”为真，所以至少有一为真，又“”为假，所以至少有一为假，‎ 因此，两命题应一真一假，即为真，为假或为假，为真.或，‎ 解得：.‎ ‎【解析】本题主要考查逻辑联结词“或”“且”、复合命题的真假.‎ 先化简命题再根据“”真“”为假，判断命题 若方程有两个不等的负根,则  解得，即，‎ 若方程无实根，则，解得：，‎ 即，因“”为真，所以至少有一为真，又“”为假，所以至少有一为假，‎ 因此，两命题应一真一假，即为真，为假或为假，为真.‎ ‎∴或，‎ 解得：.‎ ‎ ‎ ‎18．设函数.‎ ‎(1)若不等式的解集是,求不等式的解集;‎ ‎(2)当时，对任意的都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)因为不等式的解集是,所以是方程的解，由韦达定理得：，故不等式为，解不等式得其解集为.‎ ‎(2)据题意恒成立，则可转化为,设 ‎，则关于递减，所以,∴.‎ ‎【解析】本题主要考查二次函数、二次方程与二次不等式、恒成立的不等式，考查转化与化归的数学思想.‎ ‎（1）先求参数a, b,再解不等式 因为不等式的解集是,所以是方程的解，由韦达定理得：，故不等式为，解不等式得其解集为.‎ ‎(2)对任意的都有成立，等价于恒成立，等价于, 对于任意的恒成立，等价于，设，则关于递减，所以,∴.‎ ‎ ‎ ‎19．2009年推出一款新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.‎ ‎(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；‎ ‎(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?‎ ‎【答案】(1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为 ‎ (万元)‎ 所以 (万元)‎ ‎(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为 ‎ (万元).‎ 当且仅当0.1n＝时取等号，此时n＝12.‎ 答:这种汽车使用12年报废最合算.‎ ‎【解析】本题主要考查数列的实际应用.解答本题时要注意根据条件建立关于使用年数n的函数，然后构造基本不等式，应用基本不等式求解最值.高考对于数列的主要考查方式有：等差、等比数列的定义及通项公式；等差、等比数列的前n项和；一般数列的求和，数列与不等式等.‎ ‎【备注】统计历年的高考试题可以看出，数列的实际应用的考查相对较少，如果考查，属于中等题，处于解答题的前2题.‎ ‎ ‎ ‎20．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔千米，速度为千米/小时，飞机先看到山顶的俯角为，.经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海高度(取.‎ ‎【答案】如图45∘,‎ ‎∴=.=180000×420×=21000(m),‎ 在中, ,‎ ‎∴=10500=‎ ‎,山顶的海拔高度=10000-7350=2650千米.‎ ‎【解析】本题主要考查用正弦定理解三角形的实际应用，考查分析、处理、解决实际问题的能力.‎ 用正弦定理先求出BC,再求出CD,然后求出山高.‎ 如图,.,‎ 在中,∴=∵ ,‎ ‎∴===‎ ‎=,山顶的海拔高度千米.‎ ‎ ‎ ‎21．在中,已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)如果,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)由，得 ，由余弦定理知.‎ ‎(2)‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎ ,即的取值范围是.‎ ‎【解析】本题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、三角恒等变换.‎ ‎(1)先用余弦定理求出再求出C.‎ 由，得，由余弦定理知,∴.‎ ‎(2)先利用降幂公式、三角形内角和定理、两角和的正、余弦公式，将化成，再由 得然后用余弦函数的值域可求m的范围.‎ ‎∵=‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎===‎ ‎,∴,∴ ,‎ 即的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎22．在数列中，.‎ ‎(1)设，求数列的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)由已知得,且，即，从而，于是，‎ 又，故所求的通项公式.‎ ‎(2)由(1)知，，‎ 而，又是一个典型的错位相减法模型，易得.‎ ‎【解析】本题主要考查等比数列前项和、等差数列前项和、数列通项公式，考查错位相减法，考查转化与化归的数学思想.‎ ‎，得即,‎ ‎,‎ 式叠加，，∵‎ ‎∴‎ 又，适合上式，故所求的通项公式.‎ ‎(2)，‎ ‎，‎ 而 又是一个典型的错位相减法模型，设, ①‎ 则, ②‎ ‎①-②得：‎ 所以，‎ ‎ ‎