陕西省榆林市2020届高三高考数学三模试卷（文科） 24页

‎2020年高考数学三模试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题）‎ ‎1．设集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．2＜m＜5 B．2≤m＜5 C．2＜m≤5 D．2≤m≤5‎ ‎2．下面关于复数z＝﹣1+i（其中i为虚数单位）的结论正确的是（　　）‎ A．‎1‎z对应的点在第一象限 B．|z|＜|z+1| ‎ C．z的虚部为i D．‎z+z＜0‎ ‎3．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（　　）‎ A．r1＝r2 B．r1＜r2 C．r1＞r2 D．无法判定 ‎4．已知数列{an}为等差数列，且a3＝4，a5＝8，则该数列的前10项之和S10＝（　　）‎ A．80 B．90 C．100 D．110‎ ‎5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ‎6．设x1，x2，x3均为实数，且e‎-‎x‎1‎‎=lnx‎1‎，e‎-‎x‎2‎=ln(x‎2‎+1)，e‎-‎x‎3‎=lgx‎3‎，则（　　）‎ A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3‎ ‎7．已知向量AB‎→‎与AC‎→‎的夹角为120°，且‎|AB‎→‎|=3‎，‎|AC‎→‎|=2‎，若AP‎→‎‎=λAB‎→‎+‎AC‎→‎且AP‎→‎‎⊥‎BC‎→‎，则实数λ的值为（　　）‎ A．‎3‎‎7‎ B．‎7‎‎3‎ C．‎7‎‎12‎ D．‎‎12‎‎7‎ ‎8．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标可以是（　　）‎ A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）‎ ‎9．我们把离心率为黄金比‎5‎‎-1‎‎2‎的椭圆称为“优美椭圆”．设x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞b＞0）为“优美椭圆”，F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（　　）‎ A．60° B．75° C．90° D．120°‎ ‎10．若函数f（x）‎=‎‎3‎sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π‎2‎，0）对称，则函数f（x）在[‎-‎π‎4‎，π‎6‎]上的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．‎-‎‎3‎ C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎3‎‎2‎ ‎11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝2，CA=CB=‎‎7‎，AB=2‎‎3‎，PC=‎‎3‎．有以下结论：①三棱锥P﹣ABC的表面积为‎5‎‎3‎；②三棱锥P﹣ABC的内切球的半径r=‎‎3‎‎5‎；③点P到平面ABC的距离为‎3‎‎2‎．其中正确结论的序号为（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎12．抛物线y2＝8x的焦点F是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的一个焦点，A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎2‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎5‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设x，y满足约束条件x+y≥2‎x≤1‎y≤2‎，则目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为　 　．‎ ‎14．若曲线y=2‎x与函数f（x）＝aex在公共点处有相同的切线，则实数a的值为　 　．‎ ‎15．已知数列{an}的前n项之和为Sn，对任意的n∈N*，都有3Sn＝an+16．若bn‎=a‎1‎a‎2‎⋯an，n∈‎N‎*‎，则数列{an}的通项公式a5＝　 　；数列{bn}的最大项为　 　．‎ ‎16．定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x2，有以下4个结论：①2是y＝f（x）的一个周期；②f（1）＝0；③函数y＝f（x﹣1）是奇函数；④若函数y＝f（x+1）在（1，2）上递增．则这4个结论中正确的是　 　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．已知△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若b+c＝6，△ABC的面积为‎2‎‎3‎，求a．‎ ‎18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示：‎ ‎（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；‎ ‎（2）求y关于x 的的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？‎ 附：相关系数r‎=n‎ ‎i=1‎‎(xi-x)(yi-y)‎n‎ ‎i=1‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎n‎ ‎i=1‎‎(yi-‎y‎)‎‎2‎=‎n‎ ‎i=1‎xiyi‎-nxyn‎ ‎i=1‎xi‎2‎‎-nx‎2‎n‎ ‎i=1‎yi‎2‎‎-ny‎2‎，‎ 回归直线y‎̂‎‎=b‎̂‎x+‎a‎̂‎的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b‎̂‎‎=n‎ ‎i=1‎‎(xi-x)(yi-y)‎n‎ ‎i=1‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎=‎n‎ ‎i=1‎xiyi‎-nxyn‎ ‎i=1‎xi‎2‎‎-nx‎2‎，a‎̂‎‎=y-‎b‎̂‎x．‎ ‎19．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，AC与BD相交于点O，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，平面BDEF⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；‎ ‎（2）求三棱锥E﹣AFD的体积．‎ ‎20．已知函数f(x)=‎axex．‎ ‎（1）当a＜0时，求f（x）的最小值；‎ ‎（2）若对存在x0∈R，使得f(x‎0‎)＜-‎‎1‎‎3e，求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆E：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a＞‎3‎)‎的离心率e=‎‎1‎‎2‎．直线x＝t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．若过点P（5，﹣3），倾斜角为α，且cosα=-‎‎3‎‎5‎的直线交曲线C于P1、P2两点．‎ ‎（1）求|PP1|•|PP2|的值；‎ ‎（2）求P1P2的中点M的坐标．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．对∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|的最小值为M．‎ ‎（1）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，证明：x‎2‎y‎+y‎2‎z+z‎2‎x≥2‎；‎ ‎（2）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，且‎(x-2‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎+(z+m‎)‎‎2‎≥‎‎1‎‎3‎恒成立，求实数m的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．2＜m＜5 B．2≤m＜5 C．2＜m≤5 D．2≤m≤5‎ ‎【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可．‎ 解：因为集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∉A，‎ ‎∴3×1﹣1＜m且3×2﹣1≥m；解得2＜m≤5；‎ 故选：C．‎ ‎2．下面关于复数z＝﹣1+i（其中i为虚数单位）的结论正确的是（　　）‎ A．‎1‎z对应的点在第一象限 B．|z|＜|z+1| ‎ C．z的虚部为i D．‎z+z＜0‎ ‎【分析】由已知求得‎1‎z判断A；求解两复数的模判断B；由虚部的概念判断C；由z+z=-2＜‎0判断D．‎ 解：∵z＝﹣1+i，∴‎1‎z‎=‎1‎‎-1+i=‎-1-i‎(-1+i)(-1-i)‎=-‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎i，‎ 则‎1‎z对应的点在第三象限，故A错误；‎ ‎|z|‎=‎‎2‎，|z+1|＝1，故B错误；‎ z的虚部为1，故C错误；‎ z+z=-2＜‎‎0，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎3．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（　　）‎ A．r1＝r2 B．r1＜r2 C．r1＞r2 D．无法判定 ‎【分析】根据A、B两组样本数据的散点图分布特征，即可得出r1、r2的大小关系．‎ 解：根据A、B两组样本数据的散点图知，‎ A组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，‎ ‎∴相关系数为r1应最接近1，‎ B组数据分散在一条直线附近，也成正相关，‎ ‎∴相关系数为r2满足r2＜r1，‎ 即r1＞r2．‎ 故选：C．‎ ‎4．已知数列{an}为等差数列，且a3＝4，a5＝8，则该数列的前10项之和S10＝（　　）‎ A．80 B．90 C．100 D．110‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a3＝4，a5＝8，可得a1+2d＝4，a1+4d＝8，联立解得：a1，d，再利用求和公式即可得出．‎ 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝4，a5＝8，∴a1+2d＝4，a1+4d＝8，‎ 联立解得：a1＝0，d＝2，‎ 则该数列的前10项之和S10＝0‎+‎10×9‎‎2‎×‎2＝90．‎ 故选：B．‎ ‎5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ‎【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断选项中的命题是否正确即可．‎ 解：对于A，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β，所以A错误；‎ 对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B错误；‎ 对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，所以C正确；‎ 对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交，也可能平行，所以D错误．‎ 故选：C．‎ ‎6．设x1，x2，x3均为实数，且e‎-‎x‎1‎‎=lnx‎1‎，e‎-‎x‎2‎=ln(x‎2‎+1)，e‎-‎x‎3‎=lgx‎3‎，则（　　）‎ A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3‎ ‎【分析】画出函数y＝（‎1‎e）x，y＝lnx，y＝ln（x+1），y＝lgx，3个函数的函数图象，利用函数图象的交点的大小即可判断x1，x2，x3的大小关系，是中档题．‎ 解：画出函数y＝（‎1‎e）x，y＝lnx，y＝ln（x+1），y＝lgx，3个函数的函数图象，如图所示：‎ ‎，‎ 由图象可知：x2＜x1＜x3，‎ 故选：D．‎ ‎7．已知向量AB‎→‎与AC‎→‎的夹角为120°，且‎|AB‎→‎|=3‎，‎|AC‎→‎|=2‎，若AP‎→‎‎=λAB‎→‎+‎AC‎→‎且AP‎→‎‎⊥‎BC‎→‎，则实数λ的值为（　　）‎ A．‎3‎‎7‎ B．‎7‎‎3‎ C．‎7‎‎12‎ D．‎‎12‎‎7‎ ‎【分析】运用向量数量积的定义，可得AB‎→‎•AC‎→‎‎=-‎3，再由向量垂直的条件：向量的数量积为0，以及向量平方即为模的平方，解方程即可得到所求值．‎ 解：向量AB‎→‎与AC‎→‎的夹角为120°，且‎|AB‎→‎|=3‎，‎|AC‎→‎|=2‎，‎ 可得AB‎→‎•AC‎→‎‎=‎3×2×cos120°＝﹣3，‎ 若AP‎→‎‎=λAB‎→‎+‎AC‎→‎且AP‎→‎‎⊥‎BC‎→‎，‎ 则AP‎→‎•BC‎→‎‎=‎（λAB‎→‎‎+‎AC‎→‎）•（AC‎→‎‎-‎AB‎→‎）‎=‎AC‎→‎2﹣λAB‎→‎2+（λ﹣1）AB‎→‎•‎AC‎→‎ ‎＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，‎ 解得λ‎=‎‎7‎‎12‎．‎ 故选：C．‎ ‎8．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标可以是（　　）‎ A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）‎ ‎【分析】由已知求出AB的垂直平分线方程，由欧拉线联立求得外心坐标，得到圆的方程，设C（x，y），则三角形ABC的重心（x-4‎‎3‎‎，‎y+4‎‎3‎）在欧拉线上，整理后与圆的方程联立求解C的坐标．‎ 解：∵A（﹣4，0），B（0，4），∴AB的垂直平分线方程为x+y＝0，‎ 又外心在欧拉线x﹣y+2＝0上，‎ 联立x+y=0‎x-y+2=0‎，解得三角形ABC的外心G（﹣1，1），‎ 又r＝|GA|‎=‎(-1+4‎)‎‎2‎+(1-0‎‎)‎‎2‎=‎‎10‎，‎ ‎∴△ABC外接圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝10．‎ 设C（x，y），则三角形ABC的重心（x-4‎‎3‎‎，‎y+4‎‎3‎）在欧拉线上，即x-4‎‎3‎‎-y+4‎‎3‎+2=0‎．‎ 整理得x﹣y﹣2＝0．‎ 联立‎(x+1‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=10‎x-y-2=0‎，解得x=0‎y=-2‎或x=2‎y=0‎．‎ ‎∴顶点C的坐标可以是（0，﹣2）．‎ 故选：D．‎ ‎9．我们把离心率为黄金比‎5‎‎-1‎‎2‎的椭圆称为“优美椭圆”．设x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞b＞0）为“优美椭圆”，F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（　　）‎ A．60° B．75° C．90° D．120°‎ ‎【分析】由ca‎=‎‎5‎‎-1‎‎2‎可得‎2c‎2‎=(3-‎5‎)‎a‎2‎验证|FA|2＝|FB|2+|AB|2成立所以所以∠FBA等于 90°．‎ 解：∵ca‎=‎‎5‎‎-1‎‎2‎，∴‎‎2c‎2‎=(3-‎5‎)‎a‎2‎ 在椭圆中有b2+c2＝a2，|FA|＝a+c，|FB|＝a，|AB|‎=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎，‎ ‎∴|FA|2＝（a+c）2＝a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2＝2a2+b2＝3a2﹣c2，‎ ‎∴|FA|2＝|FB|2+|AB|2‎=‎‎3+‎‎5‎‎2‎a‎2‎，‎ 所以∠FBA等于 90°．‎ 故选：C．‎ ‎10．若函数f（x）‎=‎‎3‎sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π‎2‎，0）对称，则函数f（x）在[‎-‎π‎4‎，π‎6‎]上的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．‎-‎‎3‎ C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎3‎‎2‎ ‎【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在[‎-‎π‎4‎，π‎6‎]上的最小值．‎ 解：∵函数f（x）‎=‎‎3‎sin（2x+θ）+cos（2x+θ）＝2sin（2x+θ‎+‎π‎6‎）（0＜θ＜π）的图象关于（π‎2‎，0）对称，‎ ‎∴2‎×π‎2‎+‎θ‎+π‎6‎=‎kπ，k∈Z，即θ＝kπ‎-‎‎7π‎6‎，∴θ‎=‎‎5π‎6‎，f（x）＝2sin（2x‎+‎5π‎6‎+‎π‎6‎）＝﹣2sin2x，‎ 在[‎-‎π‎4‎，π‎6‎]上，2x∈[‎-‎π‎2‎，π‎3‎]，故当2x‎=‎π‎3‎时，函数f（x）取得最小值为‎-‎‎3‎，‎ 故选：B．‎ ‎11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝2，CA=CB=‎‎7‎，AB=2‎‎3‎，PC=‎‎3‎．有以下结论：①三棱锥P﹣ABC的表面积为‎5‎‎3‎；②三棱锥P﹣ABC的内切球的半径r=‎‎3‎‎5‎；③点P到平面ABC的距离为‎3‎‎2‎．其中正确结论的序号为（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎【分析】①取AB的中点D，连接PD、CD，根据已知线段的长度，逐一计算四个面的面积，相加即可得解；‎ ‎②采用分割法，将三棱锥P﹣ABC分割成以四个面为底面，内切球的半径为高的四个三棱锥，于是V‎=‎‎1‎‎3‎Sr，从而求得内切球的半径；‎ ‎③利用面面垂直的判定定理可证平面ABC⊥平面PCD，于是点P到平面ABC的距离即为点P到CD的距离，再利用三角形的等面积法即可得解．‎ 解：如图所示，取AB的中点D，连接PD、CD，则AB⊥CD，AB⊥PD，‎ ‎∵PA＝PB＝2，CA＝CB‎=‎‎7‎，AB＝2‎3‎，PC‎=‎‎3‎，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的表面积为‎3‎‎+‎3‎+‎3‎+2‎3‎=5‎‎3‎，即①正确；‎ ‎∵VP-ABC‎=‎1‎‎3‎×‎3‎×‎3‎=‎1‎‎3‎×5‎3‎r，∴r=‎‎3‎‎5‎，即②正确；‎ ‎∵AB⊥CD，AB⊥PD，CD、PD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，‎ 又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PCD，‎ ‎∴点P到平面ABC的距离即为点P到CD的距离，‎ 由三角形等面积法可知，在Rt△PCD中，点P到CD的距离为‎3‎‎2‎，即③正确．‎ 故选：D．‎ ‎12．抛物线y2＝8x的焦点F是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的一个焦点，A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎2‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎5‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定义可得A的坐标，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx﹣ay＝0平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值．‎ 解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），即双曲线的右焦点为（2，0），‎ 双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1的渐近线方程分别为bx﹣ay＝0，bx+ay＝0，‎ 抛物线的准线方程为x＝﹣2，‎ 由A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，可得m＞0，且|AF|＝m+2＝8，‎ 解得m＝6，n＝4‎3‎，‎ 即A（6，4‎3‎），由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx﹣ay＝0平行，‎ 可得kAF‎=‎4‎3‎-0‎‎6-2‎=‎3‎=‎ba，‎ 则双曲线的离心率为e‎=ca=‎1+‎b‎2‎a‎2‎=‎1+3‎=‎2．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设x，y满足约束条件x+y≥2‎x≤1‎y≤2‎，则目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为　[﹣1，2]　．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．‎ 解：x，y满足约束条件x+y≥2‎x≤1‎y≤2‎的可行域如图：‎ 作直线﹣2x+y＝0的平行线，‎ 当目标函数经过可行域的A（0，2）时，目标函数z＝﹣2x+y取得最大值2，‎ 目标函数经过B（1，1）时，目标函数取得最小值：﹣1．‎ 目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为[﹣1，2]．‎ 故答案为：[﹣1，2]．‎ ‎14．若曲线y=2‎x与函数f（x）＝aex在公共点处有相同的切线，则实数a的值为　‎2ee　．‎ ‎【分析】设公共点横坐标为x，然后利用“函数值相等、切点处的导数相等”，列出关于x，a的方程组求解即可．‎ 解：由已知得y′=‎‎1‎x，f′（x）＝aex．‎ 再设两曲线的公共点为（x，y），则‎1‎x‎=aex‎2x=aex，‎ 解得a=‎‎2ee．‎ 故答案为：‎2ee．‎ ‎15．已知数列{an}的前n项之和为Sn，对任意的n∈N*，都有3Sn＝an+16．若bn‎=a‎1‎a‎2‎⋯an，n∈‎N‎*‎，则数列{an}的通项公式a5＝　‎1‎‎2‎　；数列{bn}的最大项为　64　．‎ ‎【分析】利用3Sn＝an+16．利用n﹣1代换表达式的n，两式相减，可得数列{an}是以8为首项，‎-‎‎1‎‎2‎为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式和各项乘积的大小可得结论．‎ 解：∵3Sn＝an+16，‎ ‎∴n≥2时，3Sn﹣1＝an﹣1+16，‎ 两式相减可得，2an＝﹣an﹣1，‎ n＝1时，a1＝8，‎ ‎∴数列{an}是以8为首项，‎-‎‎1‎‎2‎为公比的等比数列，‎ ‎∴a5＝8×（‎-‎‎1‎‎2‎）4‎=‎‎1‎‎2‎，a1＝8，a2＝﹣4，a3＝2，a4＝﹣1，n＞4时，|an|＜1，‎ bn‎=a‎1‎a‎2‎⋯an，n∈‎N‎*‎‎，所以b4最大，最大值为64．‎ 故答案为：‎1‎‎2‎；64．‎ ‎16．定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x2，有以下4个结论：①2是y＝f（x）的一个周期；②f（1）＝0；③函数y＝f（x﹣1）是奇函数；④若函数y＝f（x+1）在（1，2）上递增．则这4个结论中正确的是　②③④　．‎ ‎【分析】由f（x+2）＝﹣f（x）可知，f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），因此4是函数y ‎＝f（x）的一个周期，结合函数是偶函数，又可得y＝f（x）关于点（1，0）对称，于是作出函数的大致图象，根据图象可逐一判断每个选项的正误．‎ 解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴4是函数y＝f（x）的一个周期，‎ ‎∵y＝f（x）是偶函数，∴f（x+2）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x），∴函数y＝f（x）关于点（1，0）对称，‎ 由于当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x2，于是可作出如下的函数图象，‎ 由图可知，①错误，②③④正确．‎ 故答案为：②③④．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．已知△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若b+c＝6，△ABC的面积为‎2‎‎3‎，求a．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理，将给的条件角化边，然后利用余弦定理求出A；‎ ‎（2）利用面积公式求出bc，然后套用余弦定理求出a的值．‎ 解：（1）∵（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC．‎ 由正弦定理得（b+c）2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，‎ ‎∴cosA=-‎‎1‎‎2‎，∴A=‎‎2π‎3‎．‎ ‎（2）∵S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎bcsinA=‎3‎‎4‎bc=2‎‎3‎，‎ ‎∴bc＝8，结合b+c＝6，（b+c）2＝a2+bc，∴a2＝28．‎ ‎∴a=2‎‎7‎．‎ ‎18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示：‎ ‎（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；‎ ‎（2）求y关于x的的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？‎ 附：相关系数r‎=n‎ ‎i=1‎‎(xi-x)(yi-y)‎n‎ ‎i=1‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎n‎ ‎i=1‎‎(yi-‎y‎)‎‎2‎=‎n‎ ‎i=1‎xiyi‎-nxyn‎ ‎i=1‎xi‎2‎‎-nx‎2‎n‎ ‎i=1‎yi‎2‎‎-ny‎2‎，‎ 回归直线y‎̂‎‎=b‎̂‎x+‎a‎̂‎的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b‎̂‎‎=n‎ ‎i=1‎‎(xi-x)(yi-y)‎n‎ ‎i=1‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎=‎n‎ ‎i=1‎xiyi‎-nxyn‎ ‎i=1‎xi‎2‎‎-nx‎2‎，a‎̂‎‎=y-‎b‎̂‎x．‎ ‎【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r，由r ‎＞0.75可得可用线性回归模型拟合y与x的关系；‎ ‎（2）求出b‎̂‎与a‎̂‎的值，得到线性回归方程，取x＝12求得y值得答案．‎ 解：（1）x‎=‎2+4+5+6+8‎‎5‎=5‎，y‎=‎3+4+5+6+7‎‎5‎=5‎．‎ i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-x)(yi-y)=‎‎（﹣3）×（﹣2）+（﹣1）×（﹣1）+0×0+1×1+3×2＝14，‎ i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-x‎)‎‎2‎=(-3‎)‎‎2‎+(-1‎)‎‎2‎+‎0‎‎2‎+‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎=20‎‎，‎ i=1‎‎5‎‎ ‎‎(yi-y‎)‎‎2‎=(-2‎)‎‎2‎+(-1‎)‎‎2‎+‎0‎‎2‎+‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎=10‎‎．‎ ‎∵r‎=i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-x)(yi-y)‎i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎i=1‎‎5‎‎ ‎‎(yi-‎y‎)‎‎2‎=‎14‎‎20‎‎×‎‎10‎=‎7‎‎2‎‎10‎＞‎0.75．‎ ‎∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；‎ ‎（2）b‎̂‎‎=i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-x)(yi-y)‎i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎=‎14‎‎20‎=0.7‎，‎ a‎̂‎‎=y-b‎̂‎x=‎‎5﹣0.7×5＝1.5．‎ ‎∴y‎̂‎‎=0.7x+1.5‎．‎ 当x＝12时，y‎̂‎‎=0.7×12+1.5=9.9‎．‎ ‎∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．‎ ‎19．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，AC与BD相交于点O，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，平面BDEF⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；‎ ‎（2）求三棱锥E﹣AFD的体积．‎ ‎【分析】（1）连接OE，OF，由已知可得AC⊥BD，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得AC⊥平面BDEF，得到AC⊥EF．求解三角形证明EF⊥OF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面AFC，从而得到平面AEF⊥平面AFC；‎ ‎（2）由DE∥BF，得BF∥平面ADE，然后利用等体积法求解三棱锥E﹣AFD的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE，OF，‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵平面BDEF⊥平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，则AC⊥EF．‎ ‎∵四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，OA＝OB＝1，‎ ‎∴OE‎=‎‎10‎，OF‎=‎‎2‎，EF＝2‎2‎，则OE2＝OF2+EF2，得EF⊥OF，‎ ‎∵AC、OF⊂平面AFC，且AC∩OF＝O，‎ ‎∴EF⊥平面AFC，‎ ‎∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面AFC；‎ ‎（2）解：∵DE∥BF，∴BF∥平面ADE，‎ ‎∴VE﹣AFD＝VF﹣ADE＝VB﹣ADE＝VE﹣ABD‎=‎1‎‎3‎S‎△ABD⋅DE=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×2×‎3‎×3=‎‎3‎．‎ ‎20．已知函数f(x)=‎axex．‎ ‎（1）当a＜0时，求f（x）的最小值；‎ ‎（2）若对存在x0∈一、选择题，使得f(x‎0‎)＜-‎‎1‎‎3e，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）f′（x）‎=‎a(1-x)‎ex，由a＜0，可得x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）时，f′（x）＜0．即可得出单调性．‎ ‎（2）对a分类讨论：若a＝0，则f（x）＝0，容易判断出结论．若a＞0，k可得f（‎-‎‎1‎a）‎=-‎1‎e‎-‎‎1‎a＜-‎1‎＜-‎‎1‎‎3e．若a＜0，由（1）可知：函数f（x）的最小值为f（1）‎=‎ae，只要ae‎＜-‎‎1‎‎3e，解得a范围即可得出．‎ 解：（1）f′（x）‎=‎a(1-x)‎ex，∵a＜0，∴x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）时，f′（x）＜0．‎ ‎∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．‎ ‎∴x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值f（1）‎=‎ae．‎ ‎（2）对a分类讨论：若a＝0，则f（x）＝0，不存在x0∈R，使得f(x‎0‎)＜-‎‎1‎‎3e成立．‎ 若a＞0，则f（‎-‎‎1‎a）‎=-‎1‎e‎-‎‎1‎a＜-‎1‎＜-‎‎1‎‎3e，满足题意．‎ 若a＜0，由（1）可知：函数f（x）的最小值为f（1）‎=‎ae，∴ae‎＜-‎‎1‎‎3e，解得a‎＜-‎‎1‎‎3‎．‎ 综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，‎-‎‎1‎‎3‎）∪（0，+∞）．‎ ‎21．已知椭圆E：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a＞‎3‎)‎的离心率e=‎‎1‎‎2‎．直线x＝t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）由椭圆E：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a＞‎3‎)‎的离心率e=‎‎1‎‎2‎，知a‎2‎‎-3‎a‎=‎‎1‎‎2‎．由此能求出椭圆E的方程．‎ ‎（2）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由x=tx‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎得y‎2‎‎=‎‎12-3‎t‎2‎‎4‎．所以圆C的半径为r=‎‎12-3‎t‎2‎‎2‎．由圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d＝t，知‎0＜t＜‎‎12-3‎t‎2‎‎2‎，所以弦长‎|AB|=2r‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎12-3‎t‎2‎‎4‎‎-‎t‎2‎=‎‎12-7‎t‎2‎，由此能求出ABC的面积的最大值．‎ ‎【解答】（1）解：∵椭圆E：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a＞‎3‎)‎的离心率e=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴a‎2‎‎-3‎a‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 解得a＝2．‎ ‎∴椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎．‎ ‎（2）解：依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．‎ 由x=tx‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎得y‎2‎‎=‎‎12-3‎t‎2‎‎4‎．‎ ‎∴圆C的半径为r=‎‎12-3‎t‎2‎‎2‎．‎ ‎∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d＝t，‎ ‎∴‎0＜t＜‎‎12-3‎t‎2‎‎2‎，即‎0＜t＜‎‎2‎‎21‎‎7‎．‎ ‎∴弦长‎|AB|=2r‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎12-3‎t‎2‎‎4‎‎-‎t‎2‎=‎‎12-7‎t‎2‎．‎ ‎∴△ABC的面积S=‎1‎‎2‎⋅t‎12-7‎t‎2‎=‎1‎‎2‎‎7‎×(‎7‎t)⋅‎12-7‎t‎2‎≤‎1‎‎2‎‎7‎×‎(‎7‎t)‎‎2‎‎+12-7‎t‎2‎‎2‎=‎‎3‎‎7‎‎7‎．‎ 当且仅当‎7‎t=‎‎12-7‎t‎2‎，即t=‎‎42‎‎7‎时，等号成立．‎ ‎∴△ABC的面积的最大值为‎3‎‎7‎‎7‎．‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．若过点P（5，﹣3），倾斜角为α，且cosα=-‎‎3‎‎5‎的直线交曲线C于P1、P2两点．‎ ‎（1）求|PP1|•|PP2|的值；‎ ‎（2）求P1P2的中点M的坐标．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．‎ ‎（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．‎ 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．转换为直角坐标方程为x2+y2＝8y，‎ 点P（5，﹣3），倾斜角为α，且cosα=-‎‎3‎‎5‎，则直线的参数方程为x=5-‎3‎‎5‎ty=-3+‎4‎‎5‎t（t为参数），‎ 把直线的参数方程代入圆的方程为t‎2‎‎-‎86‎‎5‎t+58=0‎，‎ 所以|PP1|•|PP2|＝|t1t2|＝58．‎ ‎（2）由（1）知：t‎1‎‎+t‎2‎=‎‎86‎‎5‎，‎ 所以tM‎=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎=‎‎43‎‎5‎，‎ 代入x=5-‎3‎‎5‎ty=-3+‎4‎‎5‎t得到M（‎-‎4‎‎25‎，‎‎97‎‎25‎）．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．对∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|的最小值为M．‎ ‎（1）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，证明：x‎2‎y‎+y‎2‎z+z‎2‎x≥2‎；‎ ‎（2）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，且‎(x-2‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎+(z+m‎)‎‎2‎≥‎‎1‎‎3‎恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得M＝2，再由基本不等式和累加法，即可得证；‎ ‎（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．‎ 解：（1）证明：由∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|≥|a+1﹣a+1|＝2，‎ 当且仅当﹣1≤a≤1时取得等号，可得x+y+z＝2，‎ 又x，y，z＞0，x‎2‎y‎+‎y≥2x‎2‎y‎⋅y‎=‎2x，‎ 同理可得y‎2‎z‎+‎z≥2y，z‎2‎x‎+‎x≥2z，‎ 三式相加可得，x‎2‎y‎+y‎2‎z+z‎2‎x≥‎x+y+z＝2，‎ 当且仅当x＝y＝z‎=‎‎2‎‎3‎时，取得等号，‎ 则x‎2‎y‎+y‎2‎z+z‎2‎x≥2‎；‎ ‎（2）‎(x-2‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎+(z+m‎)‎‎2‎≥‎‎1‎‎3‎恒成立，等价为‎1‎‎3‎‎≤‎[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z+m）2]min，‎ 由（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z+m）2]≥（x﹣2+y﹣1+z+m）2＝（m﹣1）2，‎ 当且仅当x﹣2＝y﹣1＝z+m可取得等号．‎ 则‎1‎‎3‎‎≤‎‎1‎‎3‎（m﹣1）2，即|m﹣1|≥1，解得m≥2或m≤0，‎ 即m的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．‎ ‎ ‎