2018版高三数学（文）一轮复习（考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 29页

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 考点1 函数的概念 ‎1.(2015·湖北，7)设x∈R，定义符号函数＝则(　　)‎ A．|x|＝x|| B．|x|＝‎ C．|x|＝ D．|x|＝‎ ‎1.解析 对于选项A，右边＝＝而左边＝|x|＝显然不正确；‎ 对于选项B，右边＝＝而左边＝|x|＝显然不正确；‎ 对于选项C，右边＝＝，而左边＝|x|＝显然不正确；‎ 对于选项D，右边＝＝而左边＝|x|＝显然正确.故应选D.‎ 答案 D ‎2.(2015·重庆，3)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(　　)‎ A．[－3,1] B．(－3,1)‎ C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ ‎2.解析 需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪‎ ‎(1，＋∞)．‎ 答案 D ‎3.(2015·湖北，6)函数f(x)＝＋lg的定义域为(　　)‎ A．(2,3) B．(2,4]‎ C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]‎ ‎3.解析 依题意，有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4； ①‎ 且>0，解得x>2且x≠3， ②‎ 由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C.‎ 答案 C ‎4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，‎ 则f(6－a)＝(　　)‎ A． ‎－ B．－ C．－ D．－ ‎4.解析 若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3，2a－1＝－1(无解)；‎ 若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7，‎ f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－2＝－.‎ 答案 A ‎5.(2015·山东，10)设函数f(x)＝若＝4，则b＝(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎5.解析 由题意，得＝3×－b＝－b.‎ 若－b≥1，即b≤时，，解得b＝.‎ 若－b＜1，即b＞时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．‎ 所以b＝.‎ 答案 D ‎6.(2015·陕西，4)设f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)‎ A．－1 B. C. D. ‎6.解析 ∵f(－2)＝2－2＝＞0，则f(f(－2))＝＝1－＝1－＝，故选C.‎ 答案 C ‎7.(2014·山东，3)函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)‎ ‎7.解析 由题意可知x满足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根据对数函数的性质得x＞2，‎ 即函数f(x)的定义域是(2，＋∞)．‎ 答案 C ‎8.(2014·江西，4)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎8.解析 因为－1＜0，所以f(－1)＝＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，‎ 解得a＝.‎ 答案 A 9. ‎(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.‎ ‎9.解析 由函数f(x)＝ax3－2x过点(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.‎ 答案 －2‎ 考点2 函数的基本性质 ‎1.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，‎ f(－x)＝－f(x)，当x＞时，＝.则f(6)＝(　　)‎ A.－2 B.－1 ‎ C.0 D.2‎ ‎1.解析　当x＞时，＝，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，‎ ‎∴f(6)＝f(1).当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.‎ 答案 D ‎2.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)‎ A. B.∪(1，＋∞)‎ C. D.∪ ‎2.解析 由f(x)＝ln(1＋|x|)－ 知f(x)为R上的偶函数，‎ 于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．‎ 当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，得f′(x)＝＋＞0，‎ 所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，‎ 则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，‎ 平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1，故选A.‎ 答案 A ‎3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是(　　)‎ A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝| ln x| D．y＝2x ‎3.解析 由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数．‎ 答案 B ‎4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝ex C．y＝cos x D．y＝ex－e－x ‎4.解析 由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.‎ 答案 D ‎5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x ‎5.解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；‎ 对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；‎ 对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；‎ 对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.‎ 答案 D ‎6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，‎ 且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)‎ A． ‎－1 B．1 C．2 D．4‎ ‎6.解析 设f(x)上任意一点为(x，y)，该点关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，‎ 将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，‎ 由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.‎ 答案 C ‎7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)‎ A．y＝e－x B．y＝x3‎ C．y＝ln x D．y＝|x|‎ ‎7.解析 分别画出四个函数的图象，如图所示：‎ 因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除C；‎ 因为指数函数y＝e－x在定义域内单调递减，故排除A；‎ 对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，故排除D；‎ 而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.‎ 答案 B ‎8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1‎ C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2x ‎8.解析 因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝在(－∞，0)上是单调递增的，‎ 又y＝为偶函数，故A对；‎ y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；‎ y＝x3为奇函数，故C错；‎ y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．所以选A.‎ 答案 A ‎9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是 偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 ‎9.解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.‎ 答案 C ‎10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．y＝2x－ B．y＝x3sin x ‎ C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x ‎10.解析 选项B中的函数是偶函数；选项C中的函数也是偶函数；选项D中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A中的函数是奇函数．‎ 答案 A ‎11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2x D．f(x)＝2x＋2x ‎11.解析 函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；‎ 选项D中f(x)＝2x＋2x，则f(－x)＝2x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2x为偶函数，故选D.‎ 答案 D 12. ‎(2016·北京，10)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________.‎ ‎12.解析　f(x)＝＝1＋，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，‎ 则f(x)最大值为f(2)＝＝2.‎ 答案　2‎ 12. ‎(2016·四川，14)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当00}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝，故选D.‎ 答案　D ‎ ‎2.(2016·新课标全国Ⅰ，8)若a>b>0，0cb ‎2.解析　对A：＝，＝，‎ ‎∵0b>0，所以lg a>lg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，所以A错；‎ 对于B：＝，＝，而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确；‎ 对C：由y＝xc在第一象限内是增函数，即可得到ac>bc，所以C错；‎ 对D：由y＝cx在R上为减函数，得ca8－2.82>0，排除A；‎ f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；‎ 在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，‎ 因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.‎ 答案　D ‎2.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f(x) (x∈R)满足f(x)= f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=(　　)‎ A. ‎0 B. m C. 2m D. 4m ‎2.解析 函数f(x) (x∈R)满足f(x) = f(2-x)，‎ 故函数f(x)的图象关于直线x=1对称，‎ 函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，‎ 故函数y=|x2-2x-3|与y= f(x)图象的交点也关于直线x=1对称，‎ 故xi=×2=m，故选B.‎ 答案　B ‎3.(2016·浙江，3)函数y＝sin x2的图象是(　　)‎ ‎3.解析　y＝sin x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C.‎ 又当x2＝，即x＝±时，ymax＝1，排除B，故选D.‎ 答案　D ‎4.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ ‎ ‎ ‎4.解析 当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，‎ 它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；‎ 当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.故选B.‎ 答案 B ‎ ‎5.(2015·浙江，5)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)‎ ‎5.解析 ∵f(x)＝(x－)cos x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；‎ 当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.‎ 答案 D ‎6.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)‎ ‎6.解析 根据对数函数性质知，a＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看a＜1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a＞1，与幂函数图象矛盾.故选D.‎ 答案 D ‎7.(2014·辽宁，10)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ 则不等式f(x－1)≤的解集为(　　)‎ A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ ‎7.解析 当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；‎ 当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，故有≤x≤.‎ 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，‎ 故f(x－1)≤的解集为∪.故选A.‎ 答案 A 考点6 函数与方程 ‎1.(2015·天津，8)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝‎ f(x)－g(x)的零点个数为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎1.解析 函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，记h(x)＝－f(2－x)，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象，如图所示，g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位，可知f(x)与g(x)的图象有两个交点，故选A.‎ 答案 A ‎ ‎2.(2015·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A．y＝ln x B．y＝x2＋1‎ C．y＝sin x D．y＝cos x ‎2.解析 对数函数y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1为偶函数但没有零点；y＝sin x是奇函数；y＝cos x是偶函数且有零点，故选D.‎ 答案 D ‎3.(2014·重庆，10)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ ‎3.解析 g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝m(x＋1)的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)＝和函数y＝m(x＋1)的图象，如图所示，当直线y＝m(x＋1)与y＝－3，x∈(－1，0]和y＝x，x∈(0，1]都相交时，0＜m≤；当直线y＝m(x＋1)与y＝‎ －4，x∈(－1，0]有两个交点时，由方程组消元得－3＝m(x＋1)，即m(x＋1)2＋3(x＋1)－1＝0，化简得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，当Δ＝9＋4m＝0，m＝－时，直线y＝m(x＋1)与y＝－3相切，当直线y＝m(x＋1)过点(0，－2)时，m＝－2，‎ 所以m∈.‎ 综上所述，实数m的取值范围是∪(0，]，选择A.‎ 答案 A ‎4.(2014·北京，6)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)‎ ‎4.解析 因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，‎ 所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.‎ 答案 C 5. ‎(2016·山东，15)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.‎ ‎5.解析　如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.‎ 当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数.‎ 若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m＜|m|.‎ ‎∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.‎ 答案　(3，＋∞)‎ 6. ‎(2015·江苏，13)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．‎ ‎6.解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝ 当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，‎ 在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．‎ 由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根的个数为4.‎ 答案4‎ 5. ‎(2015·湖北，13)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．‎ ‎7.解析 f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2.‎ 令f(x)＝0，则sin 2x＝x2，‎ 则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2的图象的交点个数．‎ 作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.‎ 答案 2‎ 6. ‎(2014·天津，14)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．‎ ‎8.解析 由题意，函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，得函数y1＝f(x)与y2＝a|x|的图象有4个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a显然大于0)．由图知，当y2＝－ax(x＜0)与y1＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)相切时，x2＋(5－a)x＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a)2－16＝0，解得a＝1(a＝9舍去).所以当x＜0时，y1与y2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y＝‎ f(x)－a|x|恰有4个零点．‎ 答案 (1，2)‎ 5. ‎(2014·福建，15))函数f(x)＝的零点个数为________．‎ ‎9.解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－；当x＞0时，f(x)＝2x－6＋ln x，‎ 因为f′(x)＝2＋＞0，所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，‎ 因为f(1)＝2－6＋ln 1＝－4＜0，f(3)＝ln 3＞0，‎ 所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上有且只有一个零点．‎ 综上所述，函数f(x)的零点个数为2.‎ 答案 2‎ 考点7 函数模型及其应用 ‎1.(2016·四川，7)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(　　)‎ ‎(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)‎ ‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 ‎1.解析　设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，‎ ‎∴1.12x＝，∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213＝－ ‎＝＝＝3.8.‎ 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.‎ 答案　B ‎2.(2014·山东，9)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝x2‎ C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)‎ ‎2.解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴．选项A、C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中函数的图象存在不是y轴的对称轴．‎ 答案 D ‎3.(2014·湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.‎ ‎(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；‎ ‎(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．‎ ‎3.解析 (1)F＝≤＝1 900，当且仅当v＝11时等号成立．‎ ‎(2)F＝≤＝2 000，当且仅当v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.‎ 答案 (1)1 900　(2)100‎ ‎4.(2014·四川，15)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B，现有如下命题：‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；‎ ‎②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；‎ ‎④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎4.解析 ①显然正确；‎ ‎②反例：函数y＝的值域为(0，1)，存在M＝1符合题意，但此函数没有最值；‎ ‎③当f(x)趋于＋∞时，无论g(x)在[－M，M]内如何取值，f(x)＋g(x)都趋于＋∞，所以f(x)＋g(x)不可能有最大值，此命题正确；‎ ‎④由于ln(x＋2)的值域为R，的值域为，由③知如果a≠0，则函数f(x)＝aln(x＋2)＋的值域为R，无最大值，与已知矛盾，所以a＝0，所以此命题正确．‎ 答案 ①③④‎