2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 23平面向量基本定理及向量的坐标表示 5页

考点规范练23　平面向量基本定理及向量的坐标表示 基础巩固组 ‎1.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,则点B的坐标为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)‎ ‎2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎4‎ C.1 D.2‎ ‎3.(2017浙江三市十二校联考)已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB同方向的单位向量是(　　)‎ A.‎3‎‎5‎‎,-‎‎4‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎‎,-‎‎3‎‎5‎ C.‎-‎3‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎ D.‎‎-‎4‎‎5‎,‎‎3‎‎5‎ ‎4.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为(　　)‎ A.e1+e2 B.-2e1+e2‎ C.2e1-e2 D.2e1+e2‎ ‎5.(2017湖南长沙调研)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则(　　)‎ A.x=‎2‎‎3‎,y=‎1‎‎3‎ B.x=‎1‎‎3‎,y=‎‎2‎‎3‎ C.x=‎1‎‎4‎,y=‎3‎‎4‎ D.x=‎3‎‎4‎,y=‎‎1‎‎4‎ ‎6.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.‎ ‎7.(2017福建三明质检)已知向量a,b满足a=(‎3‎,1),|b|=1,且a=λb,则实数λ=　　　　　. ‎ ‎8.‎ ‎(2017江苏南京盐城模拟)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.(2017广东茂名二模)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则‎3‎x‎+‎‎2‎y的最小值是(　　)‎ A.24 B.8 C.‎8‎‎3‎ D.‎‎5‎‎3‎ ‎10.‎ 给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值是(　　)‎ A.1 B.‎2‎ C.‎3‎ D.2‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=2,若m=‎1‎‎3‎OA‎+‎‎2‎‎3‎OB,则|m|的取值范围是(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎,‎‎4‎‎3‎ B.‎‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ C.[0,2] D.‎‎0,‎‎2‎‎5‎‎3‎ ‎12.(2017浙江名校联考)在平面内,AB‎1‎‎⊥‎AB‎2‎,|OB‎1‎|=3,|OB‎2‎|=4,AP‎=AB‎1‎+‎AB‎2‎,若1<|OP|<2,则|OA|的取值范围是(　　)‎ A.(2‎3‎‎,‎‎17‎) B.(‎17‎‎,‎‎21‎)‎ C.(‎17‎,2‎6‎) D.(‎21‎,2‎6‎)‎ ‎13.已知向量a,b,且|b|=2,a·b=2,则|tb+(1-2t)a|(t∈R)的最小值为　　　　　. ‎ ‎14.(2017浙江杭州模拟)已知A(cos α,‎3‎sin α),B(2cos β,‎3‎sin β),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足关系CA=λBC,则实数λ的取值范围是　　　　　. ‎ ‎15.‎ 如图,已知△ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE与CD交于点P.设存在λ和μ,使AP=λAE‎,‎PD=μCD‎,‎AB=a,BC=b.‎ ‎(1)求λ及μ;‎ ‎(2)用a,b表示BP;‎ ‎(3)求△PAC的面积.‎ 答案：‎ ‎1.D　设点B的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y-5).‎ 由AB=3a,得x+1=6,‎y-5=9,‎解得x=5,‎y=14.‎ ‎2.A　由于a+λb=(1+λ,2),故(a+λb)∥c⇒4(1+λ)-6=0,解得λ=‎1‎‎2‎,故选A.‎ ‎3.A　AB‎=OB-‎OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),‎ 故与AB同方向的单位向量为AB‎|AB‎　‎|‎‎=‎3‎‎5‎‎,-‎‎4‎‎5‎.‎ ‎4.B　以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系,‎ 由题意可得e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),‎ 因为a=xe1+ye2=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),则x-y=-3,‎y=1,‎解得x=-2,‎y=1,‎故a=-2e1+e2.‎ ‎5.A　由题意知OP‎=OB+‎BP,又BP=2PA,所以OP‎=OB+‎2‎‎3‎BA=OB+‎2‎‎3‎(OA-‎OB)=‎2‎‎3‎OA‎+‎‎1‎‎3‎OB,所以x=‎2‎‎3‎,y=‎‎1‎‎3‎‎.‎ ‎6.(-1,1)或(-3,1)　由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).‎ ‎7.±2　很明显λ≠0,则b=aλ‎=‎‎3‎λ‎,‎‎1‎λ,‎ 据此有:‎3‎λ‎2‎‎+‎‎1‎λ‎2‎=1,解得λ=±2.‎ ‎8‎.‎‎3‎‎4‎　由平面向量基本定理可得BE‎=‎1‎‎2‎BA+‎1‎‎2‎BO=‎1‎‎2‎BA+‎‎1‎‎4‎BD,故λ=‎1‎‎2‎,μ=‎1‎‎4‎,所以λ+μ=‎‎3‎‎4‎‎.‎ ‎9.B　∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,‎ 化简得2x+3y=3.∵x,y均为正数,‎ ‎∴‎3‎x+‎2‎y=‎3‎x‎+‎‎2‎y×‎‎1‎‎3‎‎(2x+3y)‎ ‎=‎1‎‎3‎‎6+‎9yx+‎4xy+6‎‎≥‎1‎‎3‎×‎‎12+2‎‎9yx‎·‎‎4xy=8,‎ 当且仅当‎9yx‎=‎‎4xy时,等号成立,‎ ‎∴‎3‎x+‎‎2‎y的最小值是8,故选B.‎ ‎10.B　法一:以O为原点,向量OA‎,‎OB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系,设=θ,θ∈‎‎0,‎π‎2‎,则OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(cos θ,sin θ).‎ 由OC=xOA+yOB,‎‎∴‎x=cosθ,‎y=sinθ.‎ ‎∴x+y=cos θ+sin θ=‎2‎sinθ+‎π‎4‎,θ+π‎4‎‎∈‎π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎,‎ ‎∴x+y的最大值为‎2‎‎.‎ 法二:∵点C在以O为圆心的圆弧AB上,‎ ‎∴|OC|2=|xOA+yOB|2=x2+y2+2xyOA‎·‎OB=x2+y2=1‎≥‎(x+y‎)‎‎2‎‎2‎.∴‎x+y‎≤‎2‎.‎当且仅当x=y=‎2‎‎2‎时等号成立.‎ ‎11.A　由题意,设A(a,0),B(0,b),由|AB|=2,得a2+b2=4,‎ ‎∴m=‎1‎‎3‎OA‎+‎2‎‎3‎OB=‎‎1‎‎3‎(a,0)+‎2‎‎3‎(0,b)=‎‎1‎‎3‎a,‎2‎‎3‎b‎.‎ ‎∴|m|2=‎‎1‎‎3‎a‎2‎‎+‎2‎‎3‎b‎2‎=a‎2‎‎+4‎b‎2‎‎9‎=‎4+3‎b‎2‎‎9‎.‎ 又0≤b2≤4,‎∴‎4‎‎9‎≤‎|m|2‎≤‎‎16‎‎9‎,得‎2‎‎3‎‎≤‎|m|‎≤‎4‎‎3‎.‎故选A.‎ ‎12.‎ D　根据题意,不妨以A为原点,分别以AB1,AB2为x轴,y轴建立平面直角坐标系xAy,如图所示,由AP‎=AB‎1‎+‎AB‎2‎,设|AB‎1‎|=a,|AB‎2‎|=b,则P(a,b).设O(x,y),且|OB‎1‎|=3,|OB‎2‎|=4,所以(x-a)2+y2=9⇒(x-a)2=9-y2,x2+(y-b)2=16⇒(y-b)2=16-x2,将两式相加得(x-a)2+(y-b)2=25-(x2+y2),即|OP|2=25-|OA|2⇒|OA|=‎25-‎‎|‎OP‎|‎‎2‎‎　‎,又1<|OP|<2,所以‎21‎<|OA|<2‎6‎‎.‎故选D.‎ ‎13.1　设b=(2,0),a=(x,y),由a·b=2得x=1,‎ ‎∴a=(1,y).∴tb+(1-2t)a=1+(1-2t)y.‎ ‎∴|tb+(1-2t)a|2=1+(1-2t)2y2≥1,当且仅当t=‎1‎‎2‎或y=0时取“=”.‎ 故所求最小值为1.‎ ‎14.λ∈[-2,1]且λ≠0　‎∵‎CA=λBC,∴(cos α+1,‎3‎sin α)=λ(-1-2cos β,-‎3‎sin β),‎ ‎∴1+cos α=λ(-1-2cos β),‎3‎sin α=-λ‎3‎sin β,‎ ‎∴1=cos2α+sin2α=[λ(-1-2cos β)-1]2+(-λsin β)2,‎ 化为:λ=‎4cosβ+2‎‎3cos‎2‎β+4cosβ+2‎,‎ 令2cos β+1=t∈[-1,3].‎ 则λ=‎8t‎3t‎2‎+2t+3‎=f(t),‎ f'(t)=‎-24(t+1)(t-1)‎‎(3t‎2‎+2t+3‎‎)‎‎2‎,‎ 可知:t=1时,函数f(t)取得最大值,f(1)=1.‎ 又f(-1)=-2,f(3)=‎2‎‎3‎,‎ ‎∴λ∈[-2,1],‎ 由于t=0时,λ=0,点A与C重合,舍去.‎ ‎∴λ∈[-2,1],λ≠0.‎ 故答案为:[-2,1],λ≠0.‎ ‎15.解 (1)由于AB=a,BC=b,则AE=a+‎2‎‎3‎b,DC‎=‎‎1‎‎3‎a+b.‎ AP‎=λAE=λa+‎2‎‎3‎b,‎DP=μDC=μ‎1‎‎3‎a+b,‎ AP‎=AD+DP=‎2‎‎3‎AB+‎DP‎,‎ 即‎2‎‎3‎a+μ‎1‎‎3‎a+b=‎λa+‎2‎‎3‎b.‎ λ=‎2‎‎3‎+‎1‎‎3‎μ,‎μ=‎2‎‎3‎λ,‎解得λ=‎6‎‎7‎,‎μ=‎4‎‎7‎.‎ ‎(2)BP‎=BA+‎AP=-a+‎6‎‎7‎a+‎2‎‎3‎b=-‎1‎‎7‎a+‎4‎‎7‎b.‎ ‎(3)设△ABC,△PAB,△PBC的高分别为h,h1,h2,‎ h1∶h=|PD|∶|CD|=μ=‎4‎‎7‎,S△PAB=‎4‎‎7‎S△ABC=8.‎ h2∶h=|PE|∶|AE|=1-λ=‎1‎‎7‎,S△PBC=‎1‎‎7‎S△ABC=2,‎ ‎∴S△PAC=4.‎