专题58 数系的扩充与复数的引入-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过 16页

‎（十九）数系的扩充与复数的引入 ‎1．复数的概念 ‎（1）理解复数的基本概念.‎ ‎（2）理解复数相等的充要条件.‎ ‎（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.‎ ‎2．复数的四则运算 ‎（1）会进行复数代数形式的四则运算.‎ ‎（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ 一、复数的概念 二、复数的几何意义 ‎1．复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 ‎（1）复数z=a＋bi复平面内的点(a，b∈R)．‎ ‎（2）复数z=a＋bi(a，b∈R)平面向量.‎ ‎2．复数加、减法的几何意义 ‎（1）复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量不共线，则复数z1＋z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．‎ ‎（2）复数减法的几何意义：复数z1−z2是所对应的复数．‎ 三、复数的代数运算 ‎1．复数的运算 ‎（1）复数的加、减、乘、除运算法则 设，则 ‎①加法：；‎ ‎②减法：；‎ ‎③乘法：；‎ ‎④除法：．‎ ‎（2）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有．‎ ‎（3）复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有，，.‎ ‎2．常用结论 ‎（1）；=；=.‎ ‎（2）．‎ ‎（3）．‎ ‎（4）．‎ ‎（5）模的运算性质：①；②；③.‎ 考向一 复数的有关概念 求解与复数概念相关问题的技巧：‎ 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解.‎ 典例1 已知a∈R，复数，，若为纯虚数，则复数的虚部为 A．1 　 B．i C． D．0‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】若z=a＋bi(a，b∈R)，则b=0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a=0且b≠0时，z是纯虚数．‎ ‎1．i为虚数单位，i607的共轭复数为 A．i B．−i C．1 D．−1‎ ‎2．设复数z满足=i，则|z|=‎ A．1 B． C． D．2‎ 考向二 复数的几何意义 复数的几何意义及应用：‎ ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z=a＋bi(a，b∈R)Z(a，b).‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎【注意】|z|的几何意义：令z=x＋yi(x，y∈R)，则|z|=，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1−z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.‎ 典例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，−2＋4i.‎ 试求：‎ ‎（1）所表示的复数；‎ ‎（2）对角线所表示的复数；‎ ‎（3）求B点对应的复数．‎ ‎【答案】（1）所表示的复数为−3−2i，所表示的复数为；（2）5−2i；（3）1＋6i.‎ ‎【名师点睛】结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．‎ ‎3．复数z=(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z1=3−2i，则z1·z2=‎ A．−5＋12i B．−5−12i C．−13＋12i D．−13−12i 考向三 复数的四则运算 复数代数形式的四则运算是每年高考考查的一个重要考向，常利用复数的加减乘运算求复数，利用复数的相等或除法运算求复数等，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题，复数代数形式的运算问题常见题型及解题策略：‎ ‎(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可．‎ ‎(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简．‎ ‎(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解．‎ ‎(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．‎ ‎(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.‎ 典例3 ‎ A．1＋i B．1−i C．−1＋i D．−1−i ‎【答案】D ‎5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2=2z，则z=‎ A．1＋i B．1−i C．−1＋i D．−1−i ‎6．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a−bi)=‎ A． B．3‎ C．− D．−3‎ ‎1．已知i为虚数单位，则复数=‎ A．1+i B．1−i ‎ C． D．‎ ‎2．已知复数，则复数的共轭复数为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎4．已知复数，则复数的虚部为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．如果复数在复平面内对应的点位于第四象限，那么角所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎6．下列命题中为真命题的是 A．实数不是复数 B．的共轭复数是 C．不是纯虚数 D．‎ ‎7．已知为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．若复数(为虚数单位)为实数，则实数等于 A．1 B．2 ‎ C． D．‎ ‎9．若为虚数单位，，则 A．4 B．3 ‎ C．2 D．1‎ ‎10．设为实数，若复数，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知复数的实部与虚部的和为，则实数的值为 A． B．1 ‎ C． D．‎ ‎12．若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎13．已知为虚数单位，则下列各式计算错误的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎14．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为 A．真真真 B．真真假 ‎ C．假假真 D．假假假 ‎15．对于两个复数，有下列四个结论：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 其中正确的结论的个数为 A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎16．__________．‎ ‎17．已知为虚数单位，复数，则复数的实部是___________．‎ ‎18．设，为虚数单位，且，则___________．‎ ‎19．若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数=___________．‎ ‎20．已知复数，是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围是___________．‎ ‎1．(2017年高考新课标I卷)设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．（2017年高考新课标II卷）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．(2017年高考新课标III卷)设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=‎ A． B．‎ C． D．2‎ ‎4．(2017年高考北京卷)若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．(–∞，1) B．(–∞，–1)‎ C．(1，+∞) D．(–1，+∞)‎ ‎5．(2016年高考新课标I卷)设，其中x，y是实数，则 A．1 B． ‎ C． D．2‎ ‎6．(2016年高考新课标II卷)已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．(2017年高考山东卷)已知，i是虚数单位.若，则a= ‎ A．1或−1 B．或 ‎ C．− D．‎ ‎8．(2017年高考江苏卷)已知复数，其中i是虚数单位，则的模是 ．‎ ‎9．(2017年高考浙江卷)已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ．‎ ‎10．(2017年高考天津卷)已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为___________．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】A ‎【解析】∵，∴i607的共轭复数为i.‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】由题意知，所以，所以|z|=1.‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】z===−i，若复数z在复平面上对应的点在第一象限，则，而此不等式组无解，所以复数z在复平面上对应的点不可能在第一象限，故选A.‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】z1=3−2i，由题意知z2=−3＋2i，∴z1·z2=(3−2i)·(−3＋2i)=−5＋12i，故选A.‎ ‎5．【答案】A ‎6．【答案】B ‎【解析】复数a＋bi(a，b∈R)的模为=，则a2＋b2=3，则(a＋bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2−b2·i2=a2＋b2=3.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】B ‎【解析】，故选B.‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】因为，所以，所以，故选A.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由题设可知，故依据复数的实部与虚部的符号可知该复数对应的点位于第二象限，应选B.‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】因为，所以复数的虚部为.本题选择C选项.‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】∵复数在复平面内对应的点位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故选B．‎ ‎6．【答案】C 故选C.‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】当时，是纯虚数，充分性成立，当是纯虚数时，则，解得必要性成立，是为纯虚数的充分必要条件，故选C.‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】由为实数得：，故选D. ‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】，，故选C.‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】由得，则，解得，故选A.‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】∵，∴，解得，故选D．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，，∴，‎ 则.本题选择B选项.‎ ‎13．【答案】C ‎【解析】，，，，‎ 故选C.‎ ‎14．【答案】C ‎15．【答案】C ‎【解析】，，， ‎ ‎，所以正确的结论的个数为3，选C.‎ ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为 ‎16．【答案】1‎ ‎【解析】，即该复数的模长为1.故答案为1.‎ ‎17．【答案】−1‎ ‎【解析】由题意可得：，则复数的实部是−1.‎ ‎18．【答案】1‎ ‎【解析】由题意可得= ，所以x=1，填1.‎ ‎19．【答案】‎ ‎【解析】因为= ，其为纯虚数，所以，解得=1.故答案为.‎ ‎20．【答案】‎ ‎【解析】因为，所以由题意得，故应填.‎ 直通高考 ‎1．【答案】B ‎【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D．‎ ‎【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2=|z1|2=|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由题意可得，由复数求模的法则可得，则.‎ 故选C.‎ ‎【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：‎ ‎(1)；(2)；(3)；(4)；‎ ‎(5)；(6).‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.‎ ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z=a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z=a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎5．【答案】B ‎【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是中的负号易忽略，所以做复数题时要注意运算的准确性.‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】要使复数对应的点在第四象限，应满足，解得，故选A.‎ ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ 复数z=a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ 复数z=a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】由得，所以，故选A.‎ ‎【名师点睛】复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的值.‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】，故答案为．‎ ‎【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ‎．其次要熟悉复数相关概念，如复数 的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．‎ ‎9．【答案】5，2‎ ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】为实数，则．‎ ‎【名师点睛】（1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可；‎ ‎（2）对于复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数．‎ ‎ ‎ ‎ ‎