2018-2019学年湖南省永州市高一下学期期末考试数学试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年湖南省永州市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．是（）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎【答案】B ‎【解析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，所以表示第二象限角，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．‎ ‎2．一元二次不等式的解集为（　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式，即或，解得，‎ 即不等式的解集为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．己知弧长的弧所对的圆心角为弧度，则这条弧所在的圆的半径为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用弧长公式列出方程直接求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，弧长的弧所对的圆心角为2弧度，则，解得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的半径的求法，考查弧长公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．‎ ‎4．化简的结果是（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（　）‎ A．二升 B．三升 C．四升 D．五升 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，‎ 则中三节容量为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎6．已知的模为．且在方向上的投影为，则与的夹角为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，则在方向上的投影为，‎ 解得，又因为，所以与的夹角为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，其中解答中熟记向量的投影的定义和向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎7．函数的最小正周期是（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为 ‎，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，‎ 选项A，C不能说明糖水变得更甜，‎ 糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；‎ 选项D等价于，不成立，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的部分图象，‎ 可得，即，所以，‎ 再根据五点法作图，可得，求得，‎ 故．‎ 函数的图象向左平移个单位，可得 的图象，‎ 则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（　）‎ A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年 ‎【答案】C ‎【解析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用等差数列的定义，以及等差数列的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11．正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为。若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为， ‎ 以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为， ‎ 则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，‎ 又因为分别为的最小值、最大值，‎ 所以，故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．‎ ‎12．设为中的三边长，且，则的取值范围是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，记，又由，‎ 则 ‎，‎ 又为△ABC的三边长，‎ 所以，所以，‎ 另一方面，‎ 由于，所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 不妨设，且为的三边长，所以．‎ 令，则，‎ 当时，可得，从而，‎ 当且仅当时取等号．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．‎ 二、填空题 ‎13．若向量与平行．则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量与平行，所以，解得．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知满足约束条件，则的最大值为__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 由约束条件 作出可行域，如图所示，‎ 化目标函数为，‎ 由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，‎ 所以有最大值为．‎ 故答案为3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎15．在正数数列中，，且点在直线上，则前项和等于__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在正数数列中，由点在直线上，知 ‎，所以，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n项和，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，在正数数列中，，且在直线上，‎ 可得，所以，‎ 即，‎ 因为，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列，‎ 所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎16．已知函数，有以下结论：‎ ‎①若，则：‎ ‎②在区间上是增函数：‎ ‎③的图象与图象关于轴对称：‎ ‎④设函数，当时，‎ 其中正确的结论为__．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】利用二倍角和辅助角对函数化简可得，结合三角函数的性质依次判断各结论，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 对于①：若，可知关于对称轴是对称的，即，所以①不对；‎ 对于②：令，可得；‎ ‎∴在区间上是增函数，所以②正确；‎ 对于③：的图象关于轴对称，即关于轴对称的点是，‎ 可得 ，所以③正确；‎ 对于④：设函数 ，‎ 当时，，‎ ‎，，‎ ‎∴，所以④正确．‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．己知角的终边经过点．‎ 求的值；‎ 求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．‎ ‎（2）利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，由角的终边经过点，根据三角函数的定义，可得 ‎．‎ 由知，则．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数的关系式的变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎18．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点为线段上靠近点的三等分点．‎ 求点的坐标：‎ 若点在轴上，且直线与直线垂直，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P的坐标．‎ ‎（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q的坐标．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 又，所以，解得，从而．‎ 设，所以，‎ 由已知直线与直线垂直，所以 则，解得，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎19．遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正北方向行驶后到达处，测得此塔顶在南偏东的方向上，仰角为，且，若塔底与河面在同一水平面上，求此塔的高度．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，在中，，故 又，故由正弦定理得：，‎ 解得，‎ 因为，所以，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中熟练应用正弦定理和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20．已知数列的前项和，且满足：，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.‎ 试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由 ‎①‎ 当时，有②，①－②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.‎ ‎（2）由（1）得：，∴‎ ‎∴ ‎ ‎21．近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人元，劳务费及耗材费为每人每天元．若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作．‎ 写出关于的函数关系式；‎ 应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）‎ ‎【答案】（1）（2）应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小 ‎【解析】（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得，所以；‎ ‎（2）损失包＝渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析式，再利用基本不等式，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，所以．‎ 设总损失为元，则 当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，满足均与轴垂直，设与的面积之和记为．‎ 若，求的值；‎ 若对任意的，存在，使得成立，且实数使得数列为递增数列，其中求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式，以及特殊角的函数值，可得所求角；‎ ‎（2）由正弦函数的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范围，再由数列的单调性，讨论的范围，即可得到的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 依题意，可得 ‎，‎ 由，得，‎ 又，所以．‎ 由得 因为，所以，所以，‎ 当时，，‎ ‎（当且仅当时，等号成立）‎ 又因为对任意，存在，使得成立，‎ 所以，即，解得，‎ 因为数列为递增数列，且，‎ 所以，从而，‎ 又，所以，‎ 从而，‎ 又，‎ ‎①当时，，从而，‎ 此时与同号，‎ 又，即，‎ ‎②当时，由于趋向于正无穷大时，与趋向于相等，从而与 趋向于相等，即存在正整数，使，从而，‎ 此时与异号，与数列为递增数列矛盾，‎ 综上，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的定义，三角函数的恒等变换，以及不等式恒成立，存在性问题解法和数列的单调性的判断和运用，试题综合性强，属于难题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力．‎