专题17+导数及其应用++导数的应用1-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 9页

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎17 导数及其应用 导数的应用1（函数的单调性、极值、最值）‎ 一、 具本目标：‎ 1. 导数在研究函数中的应用：‎ ‎①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。‎ ‎②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.‎ ‎2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。‎ 考点透析：‎ ‎1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； ‎ ‎2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；‎ ‎3.适度关注生活中的优化问题.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；‎ ‎(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.‎ 二、知识概述：‎ 一）函数的单调性：‎ ‎1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果，则函数y=f(x)为增函数；如果f ' (x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ' ( x)＝0，则y=f(x)为常函数.‎ ‎ 2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．‎ ‎3.f(x)在区间I上可导，那么是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，‎ 但 f '(0)=0，这说明f '(x)>0非必要条件．为增函数，一定可以推出，但反之不一定．‎ ‎4. 讨论可导函数的单调性的步骤：‎ ‎（1）确定的定义域；‎ ‎（2）求，令，解方程求分界点；‎ ‎（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；‎ ‎（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性.‎ ‎5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上连续，(a，b)上可导，那么令 h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)也在[a，b]上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x∈(a，b)有h '(x)>0且 h(a)≥0，则当x∈(a，b)时 h(x)>h(a)=0，从而f(x)>g(x)对所有x∈(a，b)成立．‎ 二）函数的极、最值：‎ ‎1．函数的极值 ‎ (1)函数的极小值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎(2)函数的极大值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．‎ ‎2．函数的最值 ‎ (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2017·鸡西模拟】函数的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ ‎【解析】本题是利用函数的导函数确定函数的单调区间问题.‎ 由题意，知.由得.故选D.‎ ‎【答案】D ‎2.【优选题】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【变式】若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)‎ ‎【解析】本题考点是利用函数的单调递减性求待定参数问题.由题意可知函数在(1，＋∞)上是减函数，所以有在(1，＋∞)恒成立.也就是在恒成立.在的值域为，所以只要有即可.‎ ‎【答案】C ‎3.【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( )‎ A.-4 B. -2 C.4 D.2‎ ‎【解析】本题考点是函数导数与极值.‎ ，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D.‎ ‎【答案】D ‎4.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】A ‎5.【优选题】已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【解析】本题是等比数列的性质与函数的单调性与极值的综合考查.‎ 因为数列是等比数列的前n项和，所以有，，，所以有，可求得.‎ 所以函数为，求得导函数为.‎ 令可得的单调递增区间为和，令可得 的单调递减区间为，所以函数在处取得极大值.‎ ‎【答案】D 6. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎7.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）‎ ‎【解析】本题考点是观察导函数的正负确定原函数的增减问题.当时原函数单调递减，当原函数单递增，由图象可观察到原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎8.【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎9.【2016北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值； （2）求的单调区间.‎ ‎【解析】本题考点是导数的几何意义与函数的单调性的综合应用.‎ ‎（1）因为，所以.‎ 依题设，即解得；‎ ‎（2）由（Ⅰ）知.‎ 由即知，与同号.‎ 令，则. ‎ ‎【答案】C ‎5.设函数，则是( )‎ A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数 C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数 ‎【解析】函数，函数的定义域为（-1，1），‎ 函数所以函数是奇函数．‎ ，在（0,1）上 ，‎ 所以在(0,1)上单调递增，故选A.‎ ‎【答案】A ‎6.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎7.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 (　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】因为函数有两个极值点，由.所以有两个不同的正实数根，令，所以.‎ 令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.综上所以.故选B.‎ ‎【答案】B ‎8.已知函数,若是的一个极大值点,则实数的取值范围为 ．‎ ‎【解析】因,‎ 即,‎ 由题设条件及导函数的图象可以推知方程的两根在的两边,‎ 即,也即,所以.‎ ‎【答案】‎ ‎9.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． ‎ 所以函数在单调递减，所以对任意的都有 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎