2016-2017学年高二人教A版数学选修1-1：第三章 导数及其应用 复习+练习 5页

第三章 导数及其应用 一、导数的概念及意义 ‎1．函数从到的平均变化率：．‎ ‎2．导数的物理意义：瞬时变化率．一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即．‎ ‎3．导数的几何意义：曲线的切线的斜率．函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即k．‎ ‎4．导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数．的导函数有时也记作，即．‎ 例1曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　) ．‎ A．(－2，－8) B．(1，1)，(－1，－1)‎ C．(2，8) D．(－，－)‎ 答案：B 例2曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为(　　) ．‎ A．y＝x－1 B．y＝－x＋1‎ C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2‎ 答案：A 二、导数公式与运算法则 ‎1．常见函数的导数公式：‎ ‎①； ②； ③； ④；‎ ‎⑤； ⑥； ⑦； ⑧．‎ ‎2．导数运算法则：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ ‎3．复合函数求导:和，则y可以表示成为x的函数，即为一个复合函数．‎ 例1函数y＝x•lnx的导数是(　　) ．‎ A．y′＝x B．y′＝ C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x 答案：C 解析：y′＝x′•lnx＋x•(lnx)′＝lnx＋x•＝lnx＋1．‎ 例2已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值是(　　) ．‎ A． B． C． D． 答案：D 解析：f ′(x)＝3ax2＋6x，∵f ′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝ ．‎ 例3已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f ′(x)为f(x)的导函数．‎ 若f ′(1)＝3，则a的值为________．‎ 答案：3‎ 解析：f ′(x)＝a(lnx＋1)，f ′(1)＝a＝3．‎ 例4函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0，1)和B(1，0)，在区间(0，1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB．‎ 解：直线AB的斜率kAB＝－1，‎ f ′(x)＝3x2－2x－1，‎ 令f ′(a)＝－1 (0＜a＜1)，‎ 即3a2－2a－1＝－1，‎ 解得a＝．‎ 例5已知函数f(x)＝x3＋x－16 ．‎ ‎（1）求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎（2）直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎（3）如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：（1）∵f ′(x)＝3x2＋1，‎ ‎∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13．‎ ‎∴切线的方程为13x－y－32＝0．‎ ‎（2）解法一：设切点为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，‎ 又∵直线l过原点(0，0)，‎ ‎∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13 ．‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ 解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，‎ 则k＝＝，‎ 又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，‎ 解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13．‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎（3）∵切线与直线y＝－＋3垂直，‎ ‎∴切线的斜率k＝4．‎ 设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋1＝4，‎ ‎∴x0＝±1，∴，或．‎ ‎∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，‎ 切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0．‎ 三、导数与单调性、极值、最值 ‎1．根据导数确定函数的单调区间步骤：‎ ‎（1）确定函数的定义域；‎ ‎（2）求出函数的导数；‎ ‎（3）在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；若，则函数在这个区间内单调递减．‎ ‎2．求函数的极值的方法是：解方程．‎ 当时：‎ ‎（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；‎ ‎（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．‎ ‎3．求函数在上的最大值与最小值的步骤是：‎ ‎（1）求函数在内的极值；‎ ‎（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ 例1函数f(x)＝x＋lnx在(0，6)上是(　　) ．‎ A．单调增函数 B．单调减函数 C．在(0，)上是减函数，在(，6)上是增函数 D．在(0，)上是增函数，在(，6)上是减函数 答案：A 解析：∵f ′(x)＝1＋＞0，∴函数在(0，6)上单调递增．‎ 例2设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x ‎)的图象最有可能的是(　　) ．‎ 答案：C 解析：由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数，x∈(0，2)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数，只有C符合题意，故选C．‎ 例3函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　) ．‎ A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11‎ C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 答案：C 解析：y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，∵－2＜x＜2，∴令y′＞0得－2＜x＜－1，令y′＜0得－1＜x＜2，∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1，2)上递减，∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．‎ 例4函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是(　　) ．‎ A．12、－8 B．1、－8‎ C．12、－15 D．5、－16‎ 答案：A 解析：y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8．∴ymax＝12，ymin＝－8．故选A．‎ 例5已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与 y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．‎ 分析（1）能否由已知条件求出a值，确定f(x)？‎ ‎（2）直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m的范围？‎ 解：∵f(x)在x＝－1处取得极值，‎ ‎∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1．‎ ‎∴f(x)＝x3－3x－1，∴f ′(x)＝3x2－3，‎ 由f ′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1．‎ 当x＜－1时，f ′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0；‎ 当x＞1时，f ′(x)＞0．‎ ‎∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3．‎ ‎∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，‎ 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3，1)．‎ 例6已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．‎ ‎（1）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．‎ 解：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－a，若a≤0，则f ′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)单调递增；若a＞0，则当x∈时f ′(x)＞0，当x∈时f ′(x)＜0，所以f(x)在单调递增，在单调递减．‎ ‎（2）由（1）知a≤0时f(x)在(0，＋∞)无最大值．当a＞0时f(x)在x＝取得最大值，最大值为．‎ 因此，令g(a)＝ln a＋a－1．则g(a)在(0，＋∞)是增函数，且g(1)＝0，于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0，当a＞1时，g(a)＞0．因此a的取值范围是(0，1)．‎ 本章总结：‎